Strecke zwischen zwei Punkten

Neue Frage »

Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »
Strecke zwischen zwei Punkten
Hallo liebe Community,
ich habe folgende Teilaufgabe (gekürzt):

f_a(x)= x * e^(a-x)

Jeder Wert von a schneidet die Gerade mit der Gleichung x = t (x element R, t >0,5) die Kurvenschar G_a im Ounkt V_a und den Graphen der 1. Ableitung von f_a im Punkt W_a

Gebe den Wert von t so an, dass die Länge der Strecke V_aW_a maximal ist. Weise die Art des Extremums nach. Ermittle für diesen Fall die Länge der Strecke in Abhängigkeit von a.

Leider habe ich keinen Ansatz für das Bestimmen von t in dieser Extremwertaufgabe. Ich gehe ich das an? traurig

Danke erstmal!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst zunächst einmal die beiden Punkte.
liegt auf der Geraden x=t und der Kurvenschar. Daraus kannst Du die x- und y-Koordinate des Punktes ermitteln. Entsprechend gehst Du bei vor.
Danach berechnest Du den Abstand der beiden Punkte (in Abhängigkeit von t) und maximierst die Abstandsfunktion.
 
 
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bedeutet das, ich muss
t = f_a(x)
und
t =f_a'(x)
setzen und jeweils nach x umstellen?
Wie mache ich dann aus den 2 Koordinaten die neue Funktion?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so stimmt das nicht.
Ich frage vielleicht zunächst mal nach, ob dir eigentlich klar ist, was mit einer Geraden der Form x=t überhaupt (anschaulich) gemeint ist und was es somit für die Lage der beiden Schnittpunkte bedeutet, wenn diese Gerade sowohl den Graphen von fa, also auch den Graphen von fa' schneidet.
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ist x=t nicht eine Gerade, die senkrecht durch die Stelle t geht? Das würde bedeuten, dass die beiden Schnittpunkte den gleichen x-Wert besitzen. ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, und damit liegen diese beiden Punkte demnach übereinander, was für deren Abstand (also die Länge der Strecke der beiden Schnittpunkte) somit einfach nur was bedeutet ?

Als Konsequenz daraus musst du also t nicht mit einem Funktionsterm GLEICHsetzen (das macht man ja, wenn irgendwelche y-Wert bzw. Funktionswerte übereinstimmen sollen) sondern für x dein t jeweils EINsetzen.
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Genau das habe ich jetzt auch gemacht.
Ich habe die Punkte
P_V(t|t*e^(a-t))
und
P_W(t|-(t-1)*e^(a-t))

Subtrahiere ich nun das y von P_V von P_W ab um die Funktion zu bekommen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, denn der Abstand zweier übereinander liegender Punkte ist natürlich nichts anderes als die Differenz der y-Werte (bzw. dessen Betrag).
Damit hast du dann in Abhängigkeit von t deine Funktion L(t), welche die Länge der Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten beschreibt.
Überlege dir zudem auch noch, welcher Graph für das geforderte t>0,5 wohl oberhalb liegt oder mit anderen Worten, was du von was abziehen musst, damit die Differenz der y-Werte auch wirklich positiv ist.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, denn der Abstand resultiert hier ja nur aus dem Abstand in y-Richtung.
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Inordnung, ich rechne für die Differenz y1-y2.
Nun hänge ich hier fest:
0=t*e^(a-t)-e^(a-t)+t*e^(a-t)

Wie löse ich nach t um? Mit Logarithmus?😭
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum das "gleich Null" auf der linken Seite ?
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das gehört nicht dazu. Und nun? traurig
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Klammere doch mal e^(a-t) aus und stelle dir danach zunächst mal die Frage, für welche t denn nun auch wirklich nur positive Werte entstehen.
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, dass ich für das Verstehen etwas brauche...

=e^(a-t)*(t-1+t)

Muss t dann größer gleich 1 sein, damit positive Werte rauskommen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast da aber mehr als ein t in der Klammer rumfliegen, zusammenfassen nicht verboten. Augenzwinkern
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, okay.
=e^(a-t)*(2t-1)
Und nun?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
zunächst mal die Frage, für welche t denn nun auch wirklich nur positive Werte entstehen.
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denken nun, für t>0,5 .
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast auch eine Begründung für mich parat ?
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

2t-1=0 gesetzt.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist mit dem e^(a-t) ?
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja das Problem. Muss ichdas mit Logarithmus lösen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Durch meine Nachfragen merke ich, dass dir viele Dinge glaube ich gar nicht klar sind.
Dein erneutes Erwähnen von Logarithmen zeugt auch eher davon dass du wahrscheinlich irgendwie im Hinterkopf hast, dass sobald da irgendwelche Exponentialgeschichten stehen, dass du da ja was mal mit Logarithmen machen musstest.
Hier jedoch geht es mal so überhaupt nicht um Logarithmen, aber sowas von gar nicht. Augenzwinkern

Es geht im Moment nur darum sich klar zu machen, wodurch denn nun wirklich gewährleistet ist, dass auch wirklich positiv, also größer als Null, ist.
Da steht ja ein Produkt aus den Faktoren und .
Was ist denn mit dem ersten Faktor, für alle t somit dann positiv oder negativ ?
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,
wenn ich Mir den ersten Faktor anschaue, sehe ich, dass t da "beliebig" sein kann, weil der gesamte Faktor durch t nicht negativ werden kann, sondern höchstens zwischen 0 und 1 groß sein kann bzw. Größer 1.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir mal ganz neutral, dass der erste Faktor also immer positiv ist.
Die Frage ist damit also nur noch, wann der zweite Faktor, also 2t-1, positiv wird und das gilt eben für t>0,5, was man leicht nachrechnen kann und wodurch sich die ja schon in der Aufgabenstellung erwähnte Bedingung für t erklärt.

Jetzt sollst du ja rauskriegen, für welches t nun ein Maximum entsteht.
Was ist jetzt also wohl zu tun ?
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bilde ich nun von e^(a-t)*(2t-1) die Ableitungen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ab jetzt wird ganz normal das Schema für die Bestimmung von Extrempunkten abgespult.
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Gut und bevor ich weitermache: sind die Ableitungen korrekt?:

g'(t)=-2t*e^(a-t)+3e^(a-t)
g''(t)=e^(a-t)+2t*e^(a-t)

Und wenn ich von der ersten Ableitungen nun die Nullstellenrechnen möchte, geht das ohne Logarithmieren?
Wenn ja, wie?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2. Ableitung stimmt nicht.
Klammere generell bei solchen Funktionstypen immer den Term mit der e-Funktion aus, so dass Produkte entstehen.
Damit lautet die 1. Ableitung g'(t)=(3-2t)*e^(a-t)

Verrate mir doch mal, woher das kommt, dass du ständig was mit Logarithmen machen möchtest - würde mich wirklich interessieren.
Wenn du irgendwann mal zu einer Gleichung der Form kommst, wobei k stellvertretend für irgendeine reelle Zahl steht, dann wäre der Einsatz von Logarithmen passend.
Hier kommt man aber eher mit der Regel "Ein Produkt kann nur dann Null werden, wenn ..." weiter.
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das wüsste ich auch gern, woher das kommt ;P. Aber danke für die Erklärung, wann ich das benötige.
Meine zweite Ableitung :

g''(t)=e^(a-t)*(-2t+5)

x_E wäre nach g'(x)=0 gleich 3/2,
was nach dem hinreichenden Kriterium die Stelle für den Hochpunkt ist.


Mit t=3/2 wird die Strecke maximal.

Die Länge angeben wie in der Aufgabenstellung in Abh. Von a:
y1-y2 und 3/2 eingesetzt:

Länge = 3/2*e^(a-3/2)-((-3/2-1)*e^(3/2-t)

Ja?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht eher ?
Sonst wäre ja auch g''(1,5)>0 und damit in t=1,5 ein lokales Minimum.

Die passende maximale Länge ist zudem
Der-Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank. Habe es nochmal komplett nachgerechnet und bin zum gleichen Ergebnis gekommen.

Noch eine ganz andere Frage:
Wie weise ich nach, dass ein gegebener Punkt zu einer Fläche gehört, deren Flächen Inhalt und zugrundeliegende Funktion ich kenne?

Der Schüler
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt drauf an und ist im Allgemeinen nicht unbedingt zufriedenstellend zu beantworten.
Wahrscheinlich durch den Vergleich von Funktionswerten (prüfen, ob Punkt ober- oder unterhalb des Graphen liegt).
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »