Aufgabe mit summierten Wahrscheinlichkeiten

16.08.2015, 10:07

KarlTr

Aufgabe mit summierten Wahrscheinlichkeiten

Liebe Forumsteilnehmer,

für die folgende Aufgabe habe ich habe einen Lösungsvorschlag, über dessen Prüfung ich mich freuen würde.

Landwirte mit kleinen Höfen kaufen mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% Vollernter, Landwirte mit mittleren Höfen mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% und Landwirte größerer Höfe mit einer Wahrscheinlichkeit von 70%.
In dem Vermarktungsgebiet eines Herstellers von Erntemaschinen gibt es 50% kleine Höfe, 30% mittlere und 20% große Höfe.
Wie groß ist für diesen Hersteller die Wahrscheinlichkeit, einen Vollernter zu verkaufen?

A steht für den Kauf eines Vollernters, B für die Größe der Höfe.

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B) \end{eqnarray*}$

Für kleine Höfe:
P(A) = 0,1 P(B) = 0,5); Kaufwahrscheinlichkeit somit:

$\begin{eqnarray*} 0,1 \cdot 0,5 = 0,05 \end{eqnarray*}$

Für mittlere Höfe:

$\begin{eqnarray*} 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \end{eqnarray*}$

Für große Höfe:

$\begin{eqnarray*} 0,7 \cdot 0,2 = 0,14 \end{eqnarray*}$

Die gesamte Wahrscheinlichkeit für den Kauf ergibt sich als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten:

$\begin{eqnarray*} 0,05 + 0,09 + 0,14 = 0,28 = 28% \end{eqnarray*}$

Liege ich mit diesem Ansatz richtig oder muss man ggf. mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnen (Hofgröße als Bedingung?)?

Danke und Gruß

KarlTr

16.08.2015, 10:45

Bjoern1982

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Dein Ergebnis stimmt.
Du musst hier jedoch vorsichtig mit der Bezeichnung deiner Ereignisse sein, denn es gibt hier ja nun mal verschiedene Kategorien.
Was du hier bestimmen sollst, nennt sich übrigens auch "totale Wahrscheinlichkeit" für das Ereignis B: "Kauf eines Vollernters".
Üblich wäre es bei einem solchen Aufgabentyp eigentlich auch, dass man das Ganze mit einem Baumdiagramm und den entsprechenden Pfadregeln löst.
Wähle dafür für die erste Stufe aufgrund der 3 verschiedenen Kategorien zunächst einmal A1, A2, und A3, oder von mir aus KH,MH und GH als Äste (das sind sozusagen die Vorbedingungen für die nächste Stufe). Danach kann man dann bei der zweiten Stufe mit B oder "nicht B" nur noch zwei Äste betrachten.

16.08.2015, 12:24

KarlTr

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Hallo Bjoern1982,

vielen Dank für die Durchsicht und für die ergänzenden Hinweise!

Ich habe mir das mit der totalen Wahrscheinlichkeit (TW) einmal angeschaut und verstehe das bezogen auf die Aufgabe wie folgt:

Es gibt mit den Hofgrößen drei Ereignisse KH, MH, GH, die nicht gleichzeitig eintreten können (jeder Hof kann nur genau eine Größe haben).

P(KH) = 0,5; P(MH) = 0,3; P(GH) = 0,2 sind die Wahrscheinlichkeiten der Hofgrößen.

Nun die bedingten Wahrscheinlichkeiten:

P(Kauf|KH) = 0,1; P(Kauf|MH) = 0,3; P(Kauf|GH) = 0,7

Die TW ergibt sich als Summe der Produkte

$\begin{eqnarray*} TW = P(Kauf|KH)\cdot P(KH) + P(Kauf|MH)\cdot P(MH) + P(Kauf|GH)\cdot P(GH) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0,1\cdot0,5 +0,3\cdot0,3 + 0,7\cdot0,2 = 0,05 + 0,09 + 0,14 = 0,28 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich das mit dem Baumdiagramm versucht. Da ich nicht wusste, wie man hier zeichnen kann, habe ich das mit ppt gemacht und als pdf angefügt.

Herzlichen Dank und Gruß

KarlTr

16.08.2015, 12:36

Bjoern1982

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Es ist sehr erfreulich, dass du Beiträge wirklich gründlich liest, Stichworte aufgreifst und damit viel Eigeninitiative zeigst.
Wenn das mal jeder so machen würde... Freude

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten hast nun auch an den richtigen Stellen mit einbezogen.
Noch eine Ergänzung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} TW = P(Kauf|KH)\cdot P(KH) + P(Kauf|MH)\cdot P(MH) + P(Kauf|GH)\cdot P(GH) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = 0,1\cdot0,5 +0,3\cdot0,3 + 0,7\cdot0,2 = 0,05 + 0,09 + 0,14 = 0,28 \end{eqnarray*}$

Statt TW kannst du das Kind auch beim Namen nennen und damit einfach P(Kauf) schreiben.

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