Metrik Arkustangens

17.08.2015, 01:43	Thomas Wening	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrik Arkustangens Meine Frage: Zu zeigen ist, dass durch $\begin{eqnarray} d:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R},(x,y)\mapsto \arctan\|x-y\| \end{eqnarray}$ eine Metrik definiert wird. Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Dann ist wegen der Umkehrregel $\begin{eqnarray} \arctan'x=\cos^{2}\arctan x \end{eqnarray}$ . Aus $\begin{eqnarray} \tan^{2}x=\frac{1-\cos^{2}}{\cos^{2}x} \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \cos^{2}x=\frac{1}{1+\tan^{2}x} \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} \arctan'x=\frac{1}{1+x^{2}}>0 \end{eqnarray}$ . Die Abbildung arctan ist auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ also streng monoton steigend und daher insbesondere injektiv. Wegen $\begin{eqnarray} \tan 0=0 \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \arctan 0=0 \end{eqnarray}$ . Also ist d definit, denn es gilt dann $\begin{eqnarray} \arctan\|x-y\|=0 \Leftrightarrow \|x-y\|=0 \Leftrightarrow x=y \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|x-y\|=\|y-x\| \end{eqnarray}$ . Daher ist auch $\begin{eqnarray} \arctan\|x-y\|=\arctan\|y-x\| \end{eqnarray}$ . d ist also symmetrisch. Nun fehlt es noch die Dreiecksungleichung zu zeigen: $\begin{eqnarray} \arctan\|x-z\|\leq \arctan\|x-y\|+\arctan\|y-z\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y,z\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Aber dort komme ich nicht weiter. Hat jemand einen Tipp? LG Thomas
17.08.2015, 12:42	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zunächst mal folgt aus $\begin{eqnarray} \|x-z\|\leq \|x-y\|+\|y-z\| \end{eqnarray}$ wegen der Monotonie, das $\begin{eqnarray} \arctan\|x-z\| \leq \arctan(\|x-y\|+\|y-z\|) \end{eqnarray}$ . Du musst nun also noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \arctan(\alpha+\beta) \leq \arctan\alpha+\arctan\beta \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \alpha,\beta\geq 0 \end{eqnarray}$ . Der Arkustangens ist auf der positiven Halbachse eine konkave Funktion. Zeige allgemein, dass, wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konkav ist mit $\begin{eqnarray} f(0) = 0 \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} f(x+y)\leq f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x,y\geq 0 \end{eqnarray}$ . Dazu noch ein Tipp: Versuche, von der rechten Seite auf die linke zu kommen, indem du das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und das $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ rechts jeweils entsprechend zerlegst, um die Definition der Konkavität anwenden zu können. Kommst du damit schon weiter?

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