Potenzreihe, alle x bestimmen

17.08.2015, 13:42

Seppelkoi

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Potenzreihe, alle x bestimmen

Schon wieder ich (ich lerne wie ein Bekloppter momentan) Tanzen

Tanzen

Ich soll für die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } -1^{n} \frac{x^{n} }{n} \end{eqnarray*}$

alle x € R bestimmen, für die sie konvergiert.

Hier meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{n=1}^{\infty } -1^{n}*\frac{1}{n}*x^{n} \end{eqnarray*}$

Wurzelkriterium...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{-1^{n}*\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n \to \infty } -1*\frac{1}{\sqrt[n]{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -1 \end{eqnarray*}$

Ich wusste jetzt nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll, deswegen habe ich einfach mal drauf los gerechnet. In der Aufgabe steht "Randpunkte nicht vergessen!"

Der Konvergenzradius ist doch 1/Grenzwert, also hier 1/-1 und somit -1. Die Reihe konvergiert also für alle x € R {-1,1}, oder? Die Randpunkte des KR wären dann -1 und 1.

17.08.2015, 14:04

HAL 9000

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Ich nehme mal an, du hast die notwendigen Klammern um die -1vergessen, d.h., es geht tatsächlich um die Potenzreihe $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n} \end{align*}$ .

Seit wann gibt es denn negative Konvergenzradien? Finger1

Finger1

Schau dir die Konvergenzradiusformel noch mal richtig an: Die Betragszeichen stehen nicht da drin, um ignoriert zu werden! unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Seppelkoi
In der Aufgabe steht "Randpunkte nicht vergessen!"

Das bedeutet nicht, dass du dann einfach nur noch mal diese Randpunkte auflistest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sondern dass du für diese Randpunkte jeweils untersuchst, ob da Konvergenz der Reihe vorliegt oder nicht.

17.08.2015, 15:04

Seppelkoi

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Ja das stimmt, ich habe die Klammern um die -1 vergessen, entschuldige!

Mal abgesehen davon, dass ich dann bei dem Konvergenzradius gefailt habe, kann man denn so an die Aufgabe dran gehen? Big Laugh

Big Laugh

Ok, also muss durch die Betragsstriche der Konvergenzradius positiv sein und ist somit 1.

Also muss ich die Randpunkte des Radius (also -1 und 1) einfach in die Reihe einsetzen und schauen, wie sie sich dann verhält?

Bei X = 1 würde sie bestimmt divergieren, weil die Reihe ähnlich eines Sinus zwischen -1 und 1 hin und her wechselt!
Bei X = -1 wäre es genauso!
Ist es das, was der Prof da von mir hören möchte?

Ich hoffe, ich hab dich richtig verstanden.

17.08.2015, 15:12

HAL 9000

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Halten wir mal fest: Der Konvergenzradius ist gleich 1, damit konvergiert die Potenzreihe für alle $\begin{align*} |x|<1 \end{align*}$ (d.h. alle $\begin{align*} x\in (-1,1) \end{align*}$ ) und sie divergiert für alle $\begin{align*} |x|>1 \end{align*}$ . Für $\begin{align*} |x|=1 \end{align*}$ haben wir damit noch keine Aussage, deswegen ist das noch gesondert zu untersuchen!

Zitat:

Original von Seppelkoi
Bei X = 1 würde sie bestimmt divergieren, weil die Reihe ähnlich eines Sinus zwischen -1 und 1 hin und her wechselt!
Bei X = -1 wäre es genauso!
Ist es das, was der Prof da von mir hören möchte?

Sicher nicht, weil das Ergebnis z.T. falsch ist, und die Begründung sowieso völlig daneben ist.

Tatsächlich konvergiert die Potenzreihe für $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ , und sie divergiert für $\begin{align*} x=-1 \end{align*}$ , fehlen noch die Begründungen für beides.

17.08.2015, 15:46

Seppelkoi

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Zitat:

Original von HAL 9000
Halten wir mal fest: Der Konvergenzradius ist gleich 1, damit konvergiert die Potenzreihe für alle $\begin{align*} |x|<1 \end{align*}$ (d.h. alle $\begin{align*} x\in (-1,1) \end{align*}$ ) und sie divergiert für alle $\begin{align*} |x|>1 \end{align*}$ . Für $\begin{align*} |x|=1 \end{align*}$ haben wir damit noch keine Aussage, deswegen ist das noch gesondert zu untersuchen!

Tatsächlich konvergiert die Potenzreihe für $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ , und sie divergiert für $\begin{align*} x=-1 \end{align*}$ , fehlen noch die Begründungen für beides.

Das verstehe ich hier nicht, du sagst doch, alle x € (-1,1), x = 1 steht da für mich mit drin, warum muss ich also bei x = 1 noch mal gesondert argumentieren?

Und jetzt die zweite Frage, wie muss man denn argumentieren, dass man auf deine Ergebnisse kommt? Gibt es da eine Formel von der ich nix weiß oder muss ich da noch mal das Quotientenkrit. anweden?

17.08.2015, 15:49

Seppelkoi

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Ok, sehe grad dass da steht X < 1, somit wäre für mich geklärt, warum ich bei X = 1 noch gucken muss!

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17.08.2015, 15:49

HAL 9000

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$\begin{align*} (-1,1) \end{align*}$ steht für das offene Intervall von -1 bis 1, also ohne die Randwerte, d.h. für alle $\begin{align*} -1<x<1 \end{align*}$ . Hätte eigentlich klar sein müssen durch die andere Beschreibung $\begin{align*} |x|<1 \end{align*}$ , deswegen finde ich diese deine Missdeutung etwas überflüssig unüberlegt. unglücklich

unglücklich

Für das geschlossene Intervall hätte ich $\begin{align*} [-1,1] \end{align*}$ geschrieben.

17.08.2015, 15:52

Seppelkoi

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Hab ich doch oben selbst bemerkt... Forum Kloppe

Forum Kloppe

17.08.2015, 15:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Hab ich doch oben selbst bemerkt... Forum Kloppe

Forum Kloppe

Zu spät selbst bemerkt. Der Smilie ist daher unpassend: Es muss bei dir Hammer

Hammer

lauten.

Zitat:

Original von Seppelkoi
Und jetzt die zweite Frage, wie muss man denn argumentieren, dass man auf deine Ergebnisse kommt? Gibt es da eine Formel von der ich nix weiß oder muss ich da noch mal das Quotientenkrit. anweden?

Quotienten- und Wurzelkriterium sind grundsätzlich sinnlos, wenn es um Konvergenzfragen am Rand des Konvergenzintervalls geht:

Schon konstruktionsbedingt ergibt sich da "keine Entscheidung".

Nein, da musst du schon erfindungsreicher vorgehen:

$\begin{align*} x=-1 \end{align*}$ : Da steht die Reihe $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{align*}$ . Noch nie gesehen?

$\begin{align*} x=1 \end{align*}$ : Da steht die Reihe $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n} \end{align*}$ , da sag ich einfach mal: Leibniz-Kriterium

17.08.2015, 18:05

Seppelkoi

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Also ich habe jetzt alles verstanden soweit, ich habe nur beim Leibniz-Kriterium ein Problem:

Es gibt ja "zwei Checks" bei dem Kriterium, einmal ist zu prüfen, dass die Folge eine Nullfolge sein muss, was bei X = 1 meiner Meinung nach so gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-1)^{n}\frac{1^{n} }{n} = 0 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \frac{1^{n} }{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und der Grenzwert ist ja bekanntlich Null, irgendwas mit Null multipliziert ergibt auch immer Null, somit ist obiger Grenzwert Null (ich hoffe ich drücke mich nun besser und genauer aus).

Dann muss es eine monoton fallende Nullfolge sein, also $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| \leq |a_{n} | \end{eqnarray*}$
Dazu habe ich aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} |(-1)^{n+1} \frac{1^{n+1} }{n+1}| \leq |(-1)^{n} \frac{1^{n} }{n}| \end{eqnarray*}$

Wie ich da jetzt allerdings weiter mache, weiß ich leider nicht. Darf ich jetzt schon argumentieren? Also für mich ist ja klar, dass es eben keine monoton fallende Nullfolge ist, deswegen verstehe ich nun auch deine angegebene Lösung.

Ich habe überlegt, auf beiden Seiten die n-te Wurzel zu ziehen, habe dann aber bemerkt, dass mir das nicht viel bringt.

17.08.2015, 18:07

Seppelkoi

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UPS,

unten bei meiner Aufstellung der Ungleichung natürlich bei der 1 im Zähler das "hoch n" und hoch n + 1" weg!

17.08.2015, 18:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Dann muss es eine monoton fallende Nullfolge sein, also $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| \leq |a_{n} | \end{eqnarray*}$
Dazu habe ich aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} |(-1)^{n+1} \frac{1^{n+1} }{n+1}| \leq |(-1)^{n} \frac{1^{n} }{n}| \end{eqnarray*}$

Wie wäre es denn, die Beträge auch mal auszuwerten? Da bleibt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

übrig - eine wahre Aussage für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

17.08.2015, 18:30

Seppelkoi

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Also nur, damit ich nicht vollkommen verwirrt bin:

KONVERGIEREN bedeutet, dass es einen Grenzwert gibt, also z.B. 2, oder 3000, oder 0, richtig?

und DIVERGIEREN bedeutet, dass wenn man den Grenzwert bildet, Unendlich, minus Unendlich oder eine stetig schwankende Zahl dabei herauskommt (wie beim Sinus z.B., bestimmt divergierend).

Weil du hast gesagt, die Reihe divergiert für x = -1, was dann ja nicht der Fall wäre, wenn Grenzwert = 0 konvergieren bedeutet, oder? verwirrt

verwirrt

verwirrt

Kann nämlich sein, dass ich den Kram vertauscht habe.

Für X = -1 ist der Grenzwert 0 und somit konvergiert sie, ne?
Für X = 1 konvergiert sie ja dann nach Leibnizkriterium auch! Da beide "Checks" erfüllt sind? Oder bin ich jetzt Banane? Weil die Aussage ja wahr ist für alle n größer GLEICH 1, also auch für 1 Big Laugh

Big Laugh

17.08.2015, 18:36

Mulder

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Nur weil die Folge, deren Folgenglieder aufsummiert werden, den Grenzwert 0 hat, heißt das ja noch lange nicht, dass auch die zugehörige Reihe konvergiert. Das ist ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium. Hier ganz sauber unterscheiden! Setzt man x=-1, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \sum (-1)^n \frac{(-1)^n}{n} = \sum \frac 1n \end{eqnarray*}$

und diese Reihe ist bekanntermaßen divergent (harmonische Reihe).

17.08.2015, 18:43

HAL 9000

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@Mulder

Du kannst gleich mal übernehmen, ich bin nämlich den Rest des Abends offline. Wink

Wink

17.08.2015, 18:43

Seppelkoi

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Dann hat sich mein Fehler aufgeklärt!
Vielen Dank smile

smile

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