Ermittlung von Grenzwerten (2)

17.08.2015, 21:37

DAG

Ermittlung von Grenzwerten (2)

Hoffe mir kann einer helfen hier den Anfang zu finden um die Grenzwerte zu definieren:
lim h->0 $\begin{eqnarray*} \frac{(x+h)^5-x^5}{h} \end{eqnarray*}$

Ich würde tippen auf Binomische Formel aber wie löse ich diese mit hoch 5?

Danke für eure Hilfe.

17.08.2015, 21:45

Mathema

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Kennst du das Pascalsche Dreieck?

17.08.2015, 21:47

Bürgi

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RE: Ermittlung von Grenzwerten (2)
Guten Abend,

Deine Idee ist richtig. Zum Berechnen des Binoms benutze (z.B.) das Pascalsche Dreieck.

Fasse zusammen und anschließend kannst Du im Zähler ausklammern.

EDIT: ... bin weg! Wink

17.08.2015, 23:01

DAG

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Ok ich hab nun das Pascalsche Dreieck zur Hilfe genommen und $\begin{eqnarray*} x^{5} \end{eqnarray*}$ schon einmal raus gekürzt und habe folgendes raus bekommen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac {5x^{4}h+10x³h²+10x²h³+5xh^{4}+h^{5}}{h} \end{eqnarray*}$

Wie würde ich nun weiter machen? Evtl. x ausklammern?

17.08.2015, 23:06

Mathema

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Unter "kürzen" verstehen wir eigentlich was anderes, aber $\begin{eqnarray*} x^5-x^5 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , da hast du recht. In deinem ersten Beitrag wolltest du übrigens h gegen 0 gehen lassen. Daher müssen wir gerne das h aus dem Nenner bekommen, da dieser nicht 0 sein darf. Hier wollen wir also gerne h kürzen. Also solltest du nicht x ausklammern, sondern...

18.08.2015, 19:42

DAG

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Danke Mathema für deinen erneuten Tipp.

Ich habe nun im nächsten Schritt h ausgeklammert, damit ich das h aus dem Nenner bekomme:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac {h(5x^{4}+10x³h+10x²h²+5xh³+h^{4})}{h} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das h aus dem Nenner bekommen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 5x^{4}+10x³h+10x²h²+5xh³+h^{4} \end{eqnarray*}$

Aber nun würde ich doch anfangen x auszuklammern oder? verwirrt

18.08.2015, 19:46

Mathema

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Deine Notation ist verkehrt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\textcolor{red}{h} \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac {h(5x^{4}+10x³h+10x²h²+5xh³+h^{4})}{h} \end{eqnarray*}$

Und somit

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 5x^{4}\textcolor{blue}{+10x³h+10x²h²+5xh³+h^{4}} \end{eqnarray*}$

Jetzt klammern wir überhaupt nichts mehr aus, sondern lassen h gegen 0 gehen. Welchen Produktwert erhalten wir denn für die blauen Summanden, wenn h gegen 0 geht?

edit: Da du nun einen Thread über Grenzwerte in "Algebra" und den anderen in "Sonstiges" aufgemacht hast, nur mal der Hinweis: Wir betreiben hier eigentlich Analysis. Augenzwinkern

18.08.2015, 20:11

DAG

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Danke Mathema für deine erneute Hilfe. Wie du ja leider gemerkt hast fehlt es mir sehr viel an den Mathematischen Grundlagen unglücklich

Daher auch die falsche Zuordnung. Aber ich gelobe Besserung so nach und nach smile

Zurück zur Aufgabe:
Dadurch das wir nun h gegen 0 gehen lassen wird durch die Multiplikation nun Null aus den von dir unten erwähnten blau gekennzeichneten Summanden.
So bleibt am Ende nur $\begin{eqnarray*} 5x^{4} \end{eqnarray*}$ übrig.

18.08.2015, 20:13

Mathema

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Jap - das stimmt. Freude

18.08.2015, 20:17

DAG

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Genial

Danke!

19.08.2015, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathema
edit: Da du nun einen Thread über Grenzwerte in "Algebra" und den anderen in "Sonstiges" aufgemacht hast, nur mal der Hinweis: Wir betreiben hier eigentlich Analysis. Augenzwinkern

Deswegen schiebe ich das mal dahin. smile

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