Abbildung Abbildungsmatrizen |
18.08.2015, 02:19 | dermitdemlangen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Abbildung Abbildungsmatrizen Hallo, es geht um die Aufgabe 1 , Teilaufgabe 4. Könnte mir jemand einfach mal erklären um was es da überhaupt geht und bitte in normal deutsch, bitte keine definitionen aus wikipedia oder sowas in der Art den die habe ich schon alle durch. Genauso wie die Youtube Videos aus denen ich überhaupt nicht schlau wurde. Meine Ideen: Mein Ansatz zunächst wäre die Abbildung von R^3 in R^2 von (4x1 +2x3) (x2-2x1). Das müsste ja dann so aussehen: (1/0/0) = (4/-2) (0/1/0) = (0/1) (0/0/1) = (2/0) das wäre doch dann die abbildung aus dem R^3 ins R^2 bezüglich der standardbasis. Wie geht es nun weiter??? Vielen dank für eure Hilfe |
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18.08.2015, 08:55 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Abbildung Abbildungsmatrizen
Klares jein. Zunächst muß es F(1/0/0) = (4/-2) F(0/1/0) = (0/1) F(0/0/1) = (2/0) heißen. Außerdem sind das nur die Bilder der Standardbasis, nicht mehr und nicht weniger. Was du aber bestimmen sollst, ist die Abbildungsmatrix der Abbildung F bezüglich der Basen B_2 und B_3, als Kürzel auch so geschrieben: . Das geht so: als erstes benennen wir die Basisvektoren der Basis B_2 mit v_1, v_2 und v_3, sowie die Basisvektoren der Basis B_3 mit w_1 und w_2. Dann bildest du von dem ersten Basisvektor der Basis B_2 (also v_1) das Bild F(v_1). Nun stellst du das Bild F(v_1) in der Basis B_3 dar, das heißt, du suchst den Koordinatenvektor (a_1, b_1), so daß gilt. Diesen Koordinatenvektor schreibst du in die erste Spalte der Matrix . Dieses Spiel wiederholst mit den weiteren Basisvektoren der Basis B_2. Dabei kommt der n-te Koordinatenvektor (a_n, b_n) von F(v_n) in die n-te Spalte von .
Aber ein Link muß sein: https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix |
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18.08.2015, 08:59 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Deine Abbildung F lautet in Matrixform Diese Darstellung gilt aber nur, wenn sich die Koordinaten und auf die Standardbasis beziehen, also auf die Basisvektoren und Gesucht ist aber dieselbe Abbildung bezüglich neuer Basen, wobei die Transformationen zwischen den alten und den neuen Koordinaten wie folgt gegeben sind (die neuen Koordinaten kennzeichne ich mit einem Strich) und Ersetze mit diesen beiden Gleichungen in der obersten Gleichung die Koordinaten und . Das ergibt Um auf der linken Seite die Matrix zu beseitigen, multiplizieren diese Gleichung auf beiden Seiten mit der Inversen . |
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18.08.2015, 21:30 | dermitdemlangen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo, danke schonmal für eure Hilfe ich verstehe es immer noch nicht ganz. Zum Verständnis : Ich habe eine Abbildung (sprich ein Bild) (4x1 + 2x3/ x2 - 2x1) und das will ich zunächst auf die standardbasis abbilden, also gucken wie dieses Bild in der Standardbasis aussieht, oder ? Dann sehe ich das es diese "Koordinaten" hat (4 0 2 ) (-2 1 0 ) Und jetzt möchte ich doch sehen wie diese Abbildung bezüglich der Basis B2 aussieht. Berechnet sich das dann so ? : (4 0 2 ) x (1 2 2) (-2 1 0 ) * y = (1 1 1) ...................... (1 1 2) man muss ja immer zeile mal spalte machen. das heist 4*x +0*y +2*z = (1 1 1 ) wie soll das denn mit der letzen gehen ? klarsoweit: Dann bildest du von dem ersten Basisvektor der Basis B_2 (also v_1) das Bild F(v_1). wie bilde ich das bild ? |
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19.08.2015, 09:03 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hier fängt das Unverständnis schon an. Eine Abbildung bildet Elemente einer Menge M1 (man nennt diese Elemente auch Urbilder) auf Elemente einer Menge M2 ab (man nennt diese Elemente auch Bilder). Bitte werfe also die Begriffe "Bild" und "Abbildung" nicht in einen Topf. Folglich ist das:
formaler Unsinn. Wie gesagt werden Elemente einer Urbildmenge auf Elemente einer Bildmenge abgebildet. Sofern die Bildmenge ein Vektorraum ist, kannst du natürlich jedes Element der Bildmenge als (eindeutige) Linearkombination von Vektoren aus einer Basis (das kann auch die Standardbasis sein) darstellen.
Der Weg von Ehos geht über eine sogenannte Koordinatentransformation. Sofern du dieses Thema noch nicht hattest, dürften dir ein paar Grundlagen fehlen.
Gegenfrage: wie hast du denn Bild des Vektors (1/0/0) berechnet? |
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