Tschebyscheff nicht anwendbar

18.08.2015, 12:00

steviehawk

Tschebyscheff nicht anwendbar

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe gerade eine Notiz im Skript entdeckt, die mich etwas wundert.

Und zwar. Es geht im wesentlichen um den Satz von Moirve Laplace, bei dem eine Binomial verteilte Zufallsgröße (Die Summe von n Bernoulli verteilten Zufallsgrößen) durch die Normalverteilung geschätzt wird.

Konkret wird ein fairer Würfel 600 mal geworfen. Die Zufallsvariable X_i zeigt 1, falls der i-te Wurf eine 1 ist, sonst 0. Damit ist Die Summe

$\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$

die Anzahl der Sechsen nach n Würfen.

Nun interessiert man sich für die Wkt, dass man mehr als 120 Sechsen hat bei 600 Würfen. Da steht dann als Notiz dabei, dass man das nicht mit Tschebyscheff Abschätzen könnte. Da sehe ich nicht wirklich ein, warum das so ist.

Meine Ideen:
Ich habe einfach mal Tschebyscheff angewandt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P (S_n > 120 ) = \mathbb P (S_n-np > 120-np) \end{eqnarray*}$

hierbei ist n=600, da wir 600 Würfe ausführen und p = 1/6 da wir einen fairen Würfel haben.

Also liefert mit Tschebyscheff:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P (S_n-np > 120-np) = \mathbb P (S_n-100 > 120-100) \leq \frac{Var(S_n)}{20^2} = 600 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{400} \approx 20.8 % \end{eqnarray*}$

Aus dem ZGWS (bzw. Moivre - Laplace) liefert: $\begin{eqnarray*} \approx 1,4% \end{eqnarray*}$

Das einzige was ich jetzt sehe, ist, dass die Tschebyscheff Abschätzung hier wirklich sehr grob ist. Aber anwenden kann ich sie ja trotzdem oder übersehe ich da was?

Vielen Dank für die Hilfe smile

18.08.2015, 12:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das genauso wie du, in allen Punkten. Freude

Zur Tschebyscheffrechnung wäre noch anzumerken, dass zwischendrin mit

$\begin{align*} \mathbb P (S_n-100 > 20) \leq \mathbb P (|S_n-100| > 20) \end{align*}$

ein zweites $\begin{align*} \leq \end{align*}$ auftaucht, was aber die Argumentation nicht stört.

18.08.2015, 12:41

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für den Hinweis mit dem Betrag. Ich hatte den weggelassen, weil ja die Summe so oder so immer positiv ist. Also gilt dann ja, wenn ich den Betrag hinschreibe und $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ einfüge tatsächlich die Gleichheit.

Vielen Dank

18.08.2015, 13:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von steviehawk
Ich hatte den weggelassen, weil ja die Summe so oder so immer positiv ist. Also gilt dann ja, wenn ich den Betrag hinschreibe und $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ einfüge tatsächlich die Gleichheit.

Die Summe $\begin{align*} S_n \end{align*}$ mag immer nichtnegativ sein, aber das ist nicht der Punkt:

Der "andere" von dir weggelassende Teil des Ereignisses $\begin{align*} |S_n-100| > 20 \end{align*}$ ist $\begin{align*} S_n-100 < -20 \end{align*}$ , also $\begin{align*} S_n < 80 \end{align*}$ . Und dieses Ereignis hat durchaus positive Wahrscheinlichkeit, also steht da ein echtes $\begin{align*} < \end{align*}$ in der von mir genannten Wahrscheinlichkeitsungleichung. Grob geschätzt dürfte wegen der einigermaßen vorliegenden Symmetrie der Verteilung sogar $\begin{align*} P(S_n < 80) \approx P(S_n > 120) \end{align*}$ gelten!

18.08.2015, 13:21

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, gut dass ich das jetzt nicht einfach so hingenommen habe. Sonst wäre mir dieser Sachverhalt wohl verborgen geblieben. Vielen Dank HAL 9000 deine Beiträge sind echt eine der besten Hilfe Freude

18.08.2015, 13:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Und mal ganz konkret ausgerechnet: Es ist $\begin{align*} S_n\sim B\left(600,\frac{1}{6}\right) \end{align*}$ , dafür gilt (mit CAS berechnet)

$\begin{align*} P(S_n<80) \approx 0.0107 \end{align*}$

$\begin{align*} P(S_n>120) \approx 0.0139 \end{align*}$ ,

stimmt also in diesem Randbereich nicht mehr so gut mit der Symmetrie. Zusammengerechnet $\begin{align*} P(|S_n-100|>20) \approx 0.0246 \end{align*}$ sind wir aber immer noch weit unter dem Tschebyscheff-Wert 0.208 . Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Tschebyscheff nicht anwendbar

Verwandte Themen