Koordinatenform in Parameterform umwandeln

18.08.2015, 19:22

SirAlex

Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Meine Frage:
Moin,

ich habe derzeit große Probleme beim Angeben einer Parameterform mithilfe einer Koordinatenform und hoffe, mir hier Hilfe einholen zu können, da mir etliche Beispiele zum Umwandeln nicht weitergeholfen haben.

Gegeben ist die Ebene E: 4x-2z = 6

Meine Ideen:
Ich kann aus der Koordinatenform folgendes ablesen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist dies richtig? Ich weiß absolut nicht, ob mir das weiterhelfen könnte, und falls ja, wofür es gut ist. Des Weiteren weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen muss.
Hoffe mir kann wer helfen bevor ich dran verzweifle.

18.08.2015, 19:30

Helferlein

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Wenn es Dir nur um eine Parameterform geht, hast Du mehrere Möglicheiten:

1) Umformen der Koordinatenform nach einer der drei Variablen, Einsetzen in den allgemeinen Vektor und Zerlegung des Vektors in seine drei Bestandteile (konstant, Parameter eins und zwei)

2) Bestimme drei Punkte der Ebene durch Einsetzen und daraus dann die Parameterform in gewohnter Weise.

3) Bestimme den Normalenvektor (Deiner ist bis auf ein Vorzeichen richtig) und zwei Vektoren, die zu ihm orthogonal sind und keine Vielfachen voneinander. Dies sind deine Richtungsvektoren. Den Stützvektor bekommst Du wiederum aus einer beliebeigen Lösung der Koordinatenform.

18.08.2015, 19:56

SirAlex

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Zitat:

Original von Helferlein
Wenn es Dir nur um eine Parameterform geht, hast Du mehrere Möglicheiten:

3) Bestimme den Normalenvektor (Deiner ist bis auf ein Vorzeichen richtig) und zwei Vektoren, die zu ihm orthogonal sind und keine Vielfachen voneinander. Dies sind deine Richtungsvektoren. Den Stützvektor bekommst Du wiederum aus einer beliebeigen Lösung der Koordinatenform.

Diese Möglichkeit erscheint mir soweit am vertrautesten, der Vorzeichenfehler ist mir grade auch aufgefallen.

Allerdings bräuchte ich weiterhin Hilfe, da ich nicht weiß, wie ich daraus zwei Vektoren bestimme. Auf einer Verzweiflungsskala von 1-10 bin ich mittlerweile bei 11 angelangt.

18.08.2015, 20:24

Dopap

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RE: Koordinatenform in Parameterform umwandeln
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

wegen der Null ist das nicht schwer ohne Formalismus z.B.

a1=3 a3=6 a2 beliebig. Und jetzt noch einmal das Ganze.

18.08.2015, 20:49

SirAlex

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RE: Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

wegen der Null ist das nicht schwer ohne Formalismus z.B.

a1=3 a3=6 a2 beliebig. Und jetzt noch einmal das Ganze.

Sorry, ich bin damit leider völlig überfordert. Kannst du das irgendwie für Dummies erklären?

EDIT: Mittlerweile weiß ich, dass ich damit einen Richtungsvektoren bestimmen kann. Kann ich dafür beliebige Punkte einsetzen? Und wieso:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

= 0?

Müsste das nicht eigentlich = 6 sein?

18.08.2015, 21:20

SirAlex

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RE: Koordinatenform in Parameterform umwandeln
Kurzes Update:

Ich habe mir nun ein Video angesehen "Von Koordinatenform auf Parameterform", dort ist die Rede von Spurpunkten. Nach diesem Video habe ich folgendes errechnet:

E: 4x-2z=6

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1,5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; da 4x = 6
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; da 0y = 6
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; da 2z = 6

Demnach habe ich als Normalenvektor (1,5/0/0) gewählt, und aus S_2 - S_1 sowie S_3 - S_1 zwei Richtungsvektoren gebildet und als Parameterform letzten Endes

(1,5/0/0) + s * (-1,5/0/0) + r * (-1,5/0/3)

herausbekommen (entschuldigt, dass es nicht anschaulich formatiert ist, recht kompliziert für mich).

Ist dies richtig?

18.08.2015, 22:00

Dopap

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RE: Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Zitat:

Original von SirAlex

(1,5/0/0) + s * (-1,5/0/0) + r * (-1,5/0/3)

herausbekommen (entschuldigt, dass es nicht anschaulich formatiert ist, recht kompliziert für mich).

Ist dies richtig?

prinzipiell ist das richtig.
------------ Edit-----------------------------
aber nur wenn man 3 Spurpunkte hat. Siehe unten
-------------------------------------------------

Spurpunkte sind Schnitte mit den Koordinatenachse. Der Vektor $\begin{eqnarray*} (1.5/0/0)^t \end{eqnarray*}$ ist nicht ein Normalenvektor sondern ein "Stützvektor"

18.08.2015, 22:03

SirAlex

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RE: Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Zitat:

Original von Dopap

prinzipiell ist das richtig.

Spurpunkte sind Schnitte mit den Koordinatenachse. Der Vektor $\begin{eqnarray*} (1.5/0/0)^t \end{eqnarray*}$ ist nicht ein Normalenvektor sondern ein "Stützvektor"

Es macht mich sehr glücklich zu hören, dass diese Aufgabe von mir gelöst wurde. Danke für die Verbesserung, ich habe es nicht so mit Mathe (und erst recht nicht mit Fachbegriffen).

Ich habe einen weiteren Thread aufgemacht zu einer Aufgabe, die an diese anknüpft. Könntest du dir diese evtl. auch anschauen?

18.08.2015, 22:28

Helferlein

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Damit hast Du übrigens Weg 2 gewählt.
Die Aussage 0y=6 würde ich aber noch einmal überdenken.

18.08.2015, 22:30

opi

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RE: Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Zitat:

Original von Dopap
prinzipiell ist das richtig.

Aber nur von der Optik, denn es stimmt leider überhaupt nichts... geschockt

Die Ebene verläuft parallel zur y-Achse. dort gibt es keinen Spurpunkt.
Beim Spurpunkt mit der z-Achse liegt ein Vorzeichenfehler vor.
Beide Richtungsvektoren der Parametergleichung sind falsch.

18.08.2015, 22:44

Dopap

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ja sorry, das kommt davon wenn man nur so auf die Schnelle antwortet.

Die Spurpunktmethode gefällt mir gerade in einem solchen Parallelfall gar nicht. Den 2. Richtungsvekor muss man dann wohl logisch erschließen.

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