Logistisches Wachstum - diskrete und rekursive Lösung

19.08.2015, 10:04

Ameise2

Logistisches Wachstum - diskrete und rekursive Lösung

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hätte eine Frage bezüglich dem logistischen Wachstum, vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.
Wenn ich das lineare und das exponentielle rekursiv (über die Änderungsrate B(n)-b(n-1) ) bzw. explizit (über die Ableitung f') darstelle, erhalte ich über beide Wege die gleiche Lösung.

Versuche ich dies dagegen beim logistischen Wachstum, so liefern die rekursive und die explizite Darstellung unterschiedliche Ergebnisse. Die Differentialgleichung des logistischen Wachstums (f?=k*f*(S-f) ) ist ja quadratisch abhängig von der Funktion f (dagegen sind die die DGL's von linearem und exp. Wachstum nicht quadratisch abhängig, sondern einfach abhängig).

Kann mir jemand sagen, warum die Ergebnisse beim logistischen Wachstum unterschiedlich sind und ob dies / wie dies mit der quadratischen Abhängigkeit von f zusammenhängt?

Meine Ideen:
Ich habe schon viel nachgelesen. Zu dem Ansatz mit dem quadratischen Zusammenhang konnte ich bisher leider nichts finden. Was ich des öfteren gefunden habe, war, dass die logistische DGL keine exakte Lösung hat und dies mit chaotischen System, Fixpunkten, ... zusammenhängt. Mein Prof meinte aber, dass dies mit der quadratischen Abhängigkeit in Zusammenhang zu bringen sei.

Vielen Dank für eure Antworten smile

19.08.2015, 10:23

HAL 9000

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Vielleicht solltest du mal explizit angeben, was du unter "die rekursive" und "die explizite" Darstellung verstehst - und auf welche DGL (womöglich $\begin{align*} f'=kf(S-f) \end{align*}$ ) sich das genau bezieht. Ansonsten ist man hier zu sehr auf raten und mutmaßen angewiesen, das muss doch nicht sein.

19.08.2015, 10:40

Ameise2

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Oh tut mir Leid, dachte das ist klar.

Also :
lineares Wachstum:
rekursiv: $\begin{eqnarray*} B(n+1)=B(n)+d \end{eqnarray*}$ , d=absolute Änderung
explizit: $\begin{eqnarray*} B(n+1)=B(n)+d=\underbrace{B(n-1)+d}_{B(n)}+d=B(n-2)+2\cdot d+d=...=B(0)+n\cdot d \end{eqnarray*}$
bzw. explizit als Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=f(0)+c\cdot x \end{eqnarray*}$

exponentielles Wachstum:
rekursiv: $\begin{eqnarray*} B(n+1)=k\cdot B(n) \end{eqnarray*}$
explizit: $\begin{eqnarray*} B(n+1)=k\cdot B(n)= k\cdot \underbrace{k\cdot B(n-1)}_{B(n)}=k^2\cdot k\cdot B(n-2)=...=k^n\cdot B(0) \end{eqnarray*}$
bzw. explizit als Funktion (: $\begin{eqnarray*} f(x)=f(0)\cdot a^x \end{eqnarray*}$ , bzw. $\begin{eqnarray*} f(x)=f(0)\cdot e^(kx) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k=ln(a) \end{eqnarray*}$
und als DGL: $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot f(x) \end{eqnarray*}$

logistisches Wachstum:
rekusiv: $\begin{eqnarray*} B(n+1)=k\cdot B(n)= k\cdot \underbrace{k\cdot B(n-1)}_{B(n)}=k^2\cdot k\cdot B(n-2)=...=k^n\cdot B(0) \end{eqnarray*}$

DGL: $\begin{eqnarray*} f'(x)=r\cdot f(x)\cdot (S-f(x)) \end{eqnarray*}$

und diese Lösungen stimmen eben nicht immer exakt mit den Lösungen der rekursiven Darstellung überein.

19.08.2015, 12:11

HAL 9000

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Ist ja nett dass du glaubst, mir die Formeln zu linearen und exponentiellen Wachstum nennen zu müssen, aber danach habe ich nicht gefragt.

Zitat:

Original von Ameise2
logistisches Wachstum:
rekusiv: $\begin{eqnarray*} B(n+1)=k\cdot B(n)= k\cdot \underbrace{k\cdot B(n-1)}_{B(n)}=k^2\cdot k\cdot B(n-2)=...=k^n\cdot B(0) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht logistisches Wachstum, sondern (wieder) exponentielles Wachstum. unglücklich

Nochmal: Wie kommst du zu der Aussage

Zitat:

Original von Ameise2
Versuche ich dies dagegen beim logistischen Wachstum, so liefern die rekursive und die explizite Darstellung unterschiedliche Ergebnisse.

Von diesen rekursiven und expliziten Darstellungen sehe ich keine Spur bei dir. verwirrt

19.08.2015, 17:57

Ameise2

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das war ein Copy und Paste Fehler.

logistisch explizit als DGL meinte ich $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot f(x)\cdot (S-f(x)) \end{eqnarray*}$

wohingegen logistisch rekursiv: $\begin{eqnarray*} B(n+1)=B(n)+q\cdot B(n) \cdot (S-B(n)) \end{eqnarray*}$

und nun die Frage, warum liefern die DGL und die rekursive Darstellung unterschiedliche Ergebnisse?

19.08.2015, 19:08

HAL 9000

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Jetzt verstehe ich erst: Dir geht es um den Unterschied zwischen logistisch stetig (Differentialgleichung) und logistisch diskret (Differenzengleichug).

Es sind verschiedene Gleichungen und damit auch verschiedene Lösungen.

Man kann die Differentialgleichung als Grenzprozess der Differenzengleichung

$\begin{align*} f(x+h) = f(x) +hk\cdot f(x)\cdot (S-f(x)) \end{align*}$

für $\begin{align*} h\to 0 \end{align*}$ auffassen, während deine B-Differenzengleichung dem Fall $\begin{align*} h=1 \end{align*}$ entspricht.

22.08.2015, 10:11

Ameise2

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Hey,

aber diese Beschreibung als Grenzprozess mit h--> 0, bzw. bei den B(n) mit h=1 ist ja auch bei exponentiellem und beschränktem Wachstum der Fall, aber man erhält dann sowohl über die B(n) als auch über die DGL die gleichen Werte (also natürlich wenn ich die natürlichen Zahlen einsetze), genauer: Bestimme ich die Werte an den Stellen n= 0,1,2,3.... erhalte ich über die diskrete rekursive Beschreibung die gleichen Werte wie mit der DGL.

Dies ist allerdings beim logistischen Wachstum nicht der Fall, hier liefert die rekursive diskrete Beschreibung mit B(n) andere Werte als die DGL (natürlich immer verglichen an den Stellen 0,1,2,3....)

22.08.2015, 19:54

mYthos

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Die Differenzengleichung der logistischen Funktion, aus der durch Grenzwertbestimmung die Differentialgleichung folgt, ist - aus o.a. Gründen - nicht identisch mit der Rekursionsgleichung.
Hier ist die Abhängigkeit der Wachstumsgeschwindigkeit sowohl vom momentanen Bestand als auch vom Sättigungsmanko gegeben.
Der Faktor q ist deswegen keine Konstante, denn er hängt auch von t ab.

Die richtige Rekursion lautet

$\begin{eqnarray*} B(n+1) = \frac{B(n) \cdot S}{B(n) + (S - B(n)) \cdot a^S} \end{eqnarray*}$

wobei der Zusammenhang mit der Wachsumskonstanten k lautet: $\begin{eqnarray*} a = e^{-k} \end{eqnarray*}$

Es ist ersichtlich, dass sich in der Rekursion 2 Konstanten befinden, nämlich a und S.
In der Funktionsgleichung sind es dann sogar die 3 Konstanten, S, b, a

$\begin{eqnarray*} B(t) = \frac S {1 + b \cdot a^{St}} \end{eqnarray*}$

Aus diesem Grund ist es nicht so einfach wie bei dem exponentiellen Wachstum, welches tatsächlich nur von einer Konstanten abhängt.

Hier sieht man nun, dass Funktion und Rekursion gleich sind:

[attach]38957[/attach]

Und hier der Vergleich mit der 'differenziellen Rekursion'

[attach]38958[/attach]

mY+

04.09.2015, 23:20

Ameise2

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Ok, vielen Dank schon mal für die Mühe smile

Beim exponentiellen Wachstum liefern ja rekursive Darstellung , also die Differenzengleichung und die explizite Darstellung mit der Differentialgleichung die exakt gleichen Ergebnisse für natürliche Zahlen.

Und woran liegt es jetzt genau, dass dies beim logistischen nicht funktioniert? - Das mit dem Grenzübergang ist ja genau gleich, wir haben bei der Differenzengleichung auch h=1 und und dann den Übergang zu h-> 0.

Kann es nicht sein, dass es damit zusammenhängt, dass bei der logistschen Differentialgleichung f(x) quadratisch eingeht ?

05.09.2015, 10:35

mYthos

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Ja, das kann es nicht nur, es tut es.

Zitat:

Original von mYthos
...
Hier ist die Abhängigkeit der Wachstumsgeschwindigkeit sowohl vom momentanen Bestand als auch vom Sättigungsmanko gegeben.
...

In der Tat ist die Abhängigkeit auch vom Sättigungsmanko die Ursache, dort geht f(x) nochmals ein und damit ist auch die Abhängigkeit von t gegeben.
Man kann diese Abhängigkeiten also nicht alleine in den Proportionalitätsfaktor (q) packen ...

mY+

09.09.2015, 11:31

Ameise2

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Ok, Danke.

Und kann mir jemand weiterhelfen, wie ich das mathematisch sinnvoll begründen kann?
Geht das über nichtlineare Rekursionen?

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