Konvergenz einer Folge

19.08.2015, 15:45

86756453Lauren

Konvergenz einer Folge

Gegeben ist die Folge $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ und man soll herausfinden, ob sie konvergent ist. Kann mir jemand vielleicht einen Tipp dazu geben?

19.08.2015, 16:04

IfindU

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RE: Konvergenz einer Folge
Als erstes wäre interessant zu wissen, ob $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Ist sie es nicht, so kann sie nicht konvergieren. Ist sie beschränkt, könnte man noch auf Monotonie hoffen -- woraufhin die Folge automatisch konvergiert.

19.08.2015, 16:51

klauss

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RE: Konvergenz einer Folge
Aufgrund der nachlässigen Schreibweise hatte ich eher den Verdacht, dass es eigentlich um
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$
geht.

19.08.2015, 17:08

HAL 9000

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Falls du (im Falle der Konvergenz) zudem den Grenzwert suchst, dann bietet sich auch noch eine andere Methode an:

Interpretation von $\begin{align*} x_n \end{align*}$ als Riemannsche Ober- bzw. Untersumme von bestimmten Integralen.

Entsprechende Abschätzungen liefern dann per Sandwichtheorem den Grenzwert.

19.08.2015, 18:36

IfindU

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Sehr schön HAL Freude

Hätte nicht gedacht, dass man ohne weiteres den Grenzwert angeben kann.

19.08.2015, 19:11

Guppi12

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Alternativ kann man $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$ leicht zeigen. Der Grenzwert letzterer Reihe ist meist ja auch bekannt Augenzwinkern

19.08.2015, 19:15

86756453Lauren

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Die Folge ist monoton wachsend (also wenn man $\begin{eqnarray*} x_n \leq x_{n+1} \end{eqnarray*}$ nimmt und dann umformt kommt eine wahre Aussage raus).

Jetzt müsste ich also noch eine obere Schranke finden...

Integrale und Reihen dürfen wir noch nicht verwenden, aber den genauen Grenzwert muss ich sowieso nicht angeben.

19.08.2015, 19:25

IfindU

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Das stimmt schon einmal. Versuch mal die Summaden in $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nach oben abzuschätzen. Am besten jeden Summaden durch die gleiche Zahl, damit du dann leicht darüber summieren kannst.

19.08.2015, 19:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Guppi12
Alternativ kann man $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$ leicht zeigen.

Dazu zeigt man "im endlichen" zunächst $\begin{align*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{align*}$ .

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