Konvergent/divergent

19.08.2015, 15:57

86756453Lauren

Konvergent/divergent

Die gegebene Folge lautet $\begin{eqnarray*} ((-1 + 2i + \frac{1-i}{n} )^{10} -1) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

$\begin{eqnarray*} ((-1 + 2i + \frac{1-i}{n} )^{10} -1) \leq (-1 + 2i + \frac{1-i}{n} )^{10} \leq (-1 + 2i + \frac{1}{n} )^{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (-1 + 2i + \frac{1}{n} )^{10} = (-1 + 2i + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} )^{10} = (-1+2i)^{10} \end{eqnarray*}$

19.08.2015, 16:02

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ((-1 + 2i + \frac{1-i}{n} )^{10} -1) \end{eqnarray*}$

in dieser Form ist das keine Folge.
Es fehlt hier insbesondere die essentielle Information was der Laufindes der Folge sein soll.

Zitat:

Ist das so richtig?

Was ist denn überhaupt die Frage?

19.08.2015, 17:13

HAL 9000

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Zuemlich gefährlich, nix zu $\begin{align*} i,n \end{align*}$ zu sagen - am Ende hält noch jemand $\begin{align*} i \end{align*}$ hier für die imaginäre Einheit (was natürlich aufgrund der Relationszeichen $\begin{align*} \leq \end{align*}$ nicht sein kann). Big Laugh

19.08.2015, 17:55

86756453Lauren

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Also die genaue Aufgabenstellung ist:

"Ist folgende Folge konvergent/divergent?

$\begin{eqnarray*} ((-1+2i + \frac{1-i}{n} )^{10} -1)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ versehen mit der euklidischen Metrik

i soll schon die imaginäre Einheit sein...dann darf ichs wohl nicht so abschätzen...

$\begin{eqnarray*} ((-1 + 2i + \frac{1-i}{n} )^{10} -1) \leq ((-1 + 2i + \frac{1-i}{n} )^{10} \end{eqnarray*}$ gilt immer noch.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ((-1 + 2i + \frac{1-i}{n} )^{10} = ((-1 + 2i + \lim_{n \to \infty} \frac{1-i}{n} )^{10} \end{eqnarray*}$

Konvergiert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1-i}{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0? 1-i ist ja beschränkt, und eine Nullfolge multipliziert mit einer beschränkten Folge ist 0...

19.08.2015, 18:13

Captain Kirk

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Zitat:

gilt immer noch.

Nein, das galt nie.
Es gibt auf den komplexen Zahlen keine $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ Relation.
(Wie soll denn ein Punkt der Ebene kleiner sein als ein anderer?)
Und ich versteh auch nicht wozu du überhaupt die Abschätzung machen willst.
Wenn du einen Grenzwert berechnen willst, nimm doch die Folge selbst.

Zitat:

1-i ist ja beschränkt, und eine Nullfolge multipliziert mit einer beschränkten Folge ist 0...

Natürlich sind konstante Folgen beschränkt. 1-i ist eine Zahl, die kannst du natürlich für den Limes ziehen.

19.08.2015, 18:53

86756453Lauren

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Also ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} (-1+2i)^{10} -1 \end{eqnarray*}$ ?