Konvergenzradius einer Reihe, Weg dorthin

19.08.2015, 19:31

Seppelkoi

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Konvergenzradius einer Reihe, Weg dorthin

Ich habe hier eine Aufgabe, wozu ich ausnahmsweise mal eine Lösung habe. 2 kommt beim QK raus. Mich interessiert aber der Weg dorthin.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2n^{n} } (x-2)^{n} \end{eqnarray*}$

Wenn man das QK anwendet, kommt 2 dabei raus. Ab hier keine Lösung mehr. Der Entwicklungspunkt ist 2, also ist der Konvergenzradius 0? Das heißt die Reihe konvergiert nur für x = 2. Randpunkte sind bei R = 0 egal, da nicht vorhanden?

Meine Frage ist nur, wie man auf die 2 kommt. Ich bekomme das durch Umformen leider nicht hin (vermutlich weil ich mit den ns und n+1 nicht umgehen kann)

Meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{(n+1)2^{n+1} } }{\frac{1}{n2^{n}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n2^{n}}{(n+1)2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Wie kürze ich hier richtig bzw. forme richtig um, dass ich auf 2 komme? Ein Tipp wäre gut, ich will es versuchen, wie man hier auf 2 kommt.

19.08.2015, 19:35

Seppelkoi

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Sry habe den Limes vergessen aber ich hoffe ihr wisst was ich meine!

19.08.2015, 19:36

HAL 9000

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Deiner Rechnung nach geht es nicht um $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2n^{n} } (x-2)^{n} \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n2^{n} } (x-2)^{n} \end{eqnarray*}$ .

Ein erheblicher Unterschied, denn erstere Reihe hat den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

19.08.2015, 19:37

Seppelkoi

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*seufz* und nochmal verhaun:

Es geht NICHT um die Reihe 1/(2n^n) sondern ganz klar um 1/(n2^n)!!!!

19.08.2015, 19:39

Seppelkoi

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Danke HAL, ich hab es leider zu spät gepeilt... Ich bin nicht so Latex vertraut aber ich arbeite daran!

19.08.2015, 19:45

HAL 9000

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Zunächst mal: Viele Leute verwechseln die Begriffe "Quotientenkriterium" und "Wurzelkriterium" von normalen Reihen $\begin{align*} \sum_n a_n \end{align*}$ mit ähnlich aussehenden Formeln für den Konvergenzradius von Potenzreihen $\begin{align*} \sum_n a_n (x-x_0)^n \end{align*}$ .

Wenn ich so deinen Eröffnungsbeitrag lese, dann sieht es so aus, als wäre das auch dein Problem. Geh nochmal in dich, und versuch das sauber zu trennen!

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19.08.2015, 19:56

Seppelkoi

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Also,

Es ist nicht das Wurzelkriterium, sondern die Cauchy-Hadamard Formel, die den Limes Superior benutzt! (ähnlich des WK)

Und es ist nicht das QK, sondern quasi das QK "umgedreht"! Demnach hätte ich auch den Ansatz falsch aufgeschrieben, richtig?

Danke für den Hinweis.

20.08.2015, 12:34

Seppelkoi

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Ich habe jetzt also (mit der richtigen, nicht verwechselten Formel):

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^{n}} \end{eqnarray*}$

So nun stelle ich mir die Frage, wie ich hier weiter komme. Wenn ich (n+1) und n kürzen will bei den Potenzen, dann ist das - nach meiner Überlegung - doch z.B. so:

$\begin{eqnarray*} 2^{3} = 2*2*2 \end{eqnarray*}$ Das wäre "hoch n"

$\begin{eqnarray*} 2^{4} = 2*2*2*2 \end{eqnarray*}$ Und das wäre "hoch (n+1)"

Dann bleibt doch beim Kürzen das "hoch n plus einte Glied" stehen, also einfach nur 2 oder? Denke ich da richtig? Also hätte ich unten "2 hoch n" weg und oben würde eine normale 2 stehen.

Dann würde stehen:

$\begin{eqnarray*} = 2*\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Wie ich hier jetzt aber auf die 2 komme, erschließt sich mir nicht.

20.08.2015, 13:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Seppelkoi
So nun stelle ich mir die Frage, wie ich hier weiter komme. Wenn ich (n+1) und n kürzen will bei den Potenzen, dann ist das - nach meiner Überlegung - doch z.B. so:

$\begin{eqnarray*} 2^{3} = 2*2*2 \end{eqnarray*}$ Das wäre "hoch n"

$\begin{eqnarray*} 2^{4} = 2*2*2*2 \end{eqnarray*}$ Und das wäre "hoch (n+1)"

Dann bleibt doch beim Kürzen das "hoch n plus einte Glied" stehen, also einfach nur 2 oder? Denke ich da richtig? Also hätte ich unten "2 hoch n" weg und oben würde eine normale 2 stehen.

Dann würde stehen:

$\begin{eqnarray*} = 2*\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Das ist insgesamt richtig, aber mit Kenntnis der allgemeinen Potenzregeln wie $\begin{eqnarray*} \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} \end{eqnarray*}$ (Stoff der Mittelstufe) hätte sich die Frage erübrigt. smile

smile

Zitat:

Original von Seppelkoi
Wie ich hier jetzt aber auf die 2 komme, erschließt sich mir nicht.

Du wolltest doch den Grenzwert für n gegen unendlich bilden, oder nicht? verwirrt

verwirrt

20.08.2015, 14:46

Seppelkoi

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Zitat:

Original von klarsoweit

Das ist insgesamt richtig, aber mit Kenntnis der allgemeinen Potenzregeln wie $\begin{eqnarray*} \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} \end{eqnarray*}$ (Stoff der Mittelstufe) hätte sich die Frage erübrigt. smile

smile

Du wolltest doch den Grenzwert für n gegen unendlich bilden, oder nicht? verwirrt

verwirrt

Danke, aber genau da liegt ja mein Problem, dass ich oft an Aufgaben scheitere, weil ich im Vereinfachen und Umschreiben von Termen aller Art extrem extrem schlecht bin Tränen

Tränen

Bei dem Grenzwert kommt 1 raus... Finger1

Finger1

Damit wären meine Fragen beantwortet. Nun muss ich nur noch wissen, ob meine Überlegungen zum Konvergenzradius stimmen, weil 2 - 2 = 0, damit müsste die Potenzreihe nur für x = 2 konvergieren, richtig? Und Randpunkte gibt es ja dann auch nicht, die ich betrachten könnte, da hat mir HAL 9000 ja schon sehr geholfen.

20.08.2015, 14:48

Seppelkoi

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Also natürlich bei dem (n+1)/n Term! Und 2 * 1 = 2.

20.08.2015, 14:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Nun muss ich nur noch wissen, ob meine Überlegungen zum Konvergenzradius stimmen, weil 2 - 2 = 0, damit müsste die Potenzreihe nur für x = 2 konvergieren, richtig?

Wie kommst du denn darauf? geschockt

geschockt

Die Potenzreihe $\begin{align*} \sum_n a_n(x-x_0)^n \end{align*}$ mit Konvergenzradius $\begin{align*} R \end{align*}$ konvergiert für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} |x-x_0|<R \end{align*}$ oder im Reellen umgeschrieben zu $\begin{align*} x_0-R<x<x_0+R \end{align*}$ .

Bei dir ist $\begin{align*} x_0=2 \end{align*}$ und $\begin{align*} R=2 \end{align*}$ , das ergibt Konvergenzintervall $\begin{align*} 0<x<4 \end{align*}$ . Die Randpunkte 0 und 4 sind extra zu untersuchen, ob da ggfs. auch Konvergenz vorliegt.

20.08.2015, 15:21

Seppelkoi

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Aha

smile

Also ist das bei den Potenzreihen dann auch ein wenig anders, als bei den "normalen" Reihen! Weil da ist der Konvergenzradius ja quasi das Endergebnis des jeweiligen Kriteriums in die positive und negative Richtung, oder?

Wenn bei einer Reihe z.B. beim WK 2 rauskommt, wäre R = 1/2 und das Konvergenzintervall für x (-1/2,1/2), richtig?

Sorry, wenn ich so viele nervige Fragen stelle, aber ich will das endlich mal richtig verstehen...

Hier bei den Potenzreihen habe ich ja noch eine Entwicklungsstelle, und UM DIESE (deswegen 2+2=4 und 2-2=0) Entwicklungsstelle für x konvergiert die Potenzreihe dann. Bei den Reihen ohne Entwicklungsstelle entfällt diese Rechnung, da die Entwicklungsstelle dort immer Null ist, wenn nicht anders angegeben?

Danke HAL! Gott

Gott

20.08.2015, 15:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Wenn bei einer Reihe z.B. beim WK 2 rauskommt, wäre R = 1/2 und das Konvergenzintervall für x (-1/2,1/2), richtig?

WK steht für Wurzelkiriterium, und das ist für normale Reihen, keine Potenzreihen - dazu hatte ich oben schon mal was gesagt... Drück dich also bitte mal klarer aus. Bei Reihen, die keine Potenzreihen sind, machen die Begriffe Entwicklungsstelle, Konvergenzradius und Konvergenzintervall nicht den geringsten Sinn: Eine solche "normale" Reihe konvergiert oder divergiert, Punkt.

20.08.2015, 15:39

Seppelkoi

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Also bei dem Randpunkt 0 divergiert die Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n2^{n}} (0-2)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{n=1}^{\infty } -\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Und diese Reihe divergiert wie ich nun gelernt habe Big Laugh

Big Laugh

Bei dem Randpunkt 4 komm auch die harmonische Reihe raus, deswegen liegt auch hier Divergenz vor!

Man, das macht langsam richtig Spaß. smile

smile

smile

smile

smile

20.08.2015, 15:43

Seppelkoi

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Zitat:

Original von HAL 9000

Bei Reihen, die keine Potenzreihen sind, machen die Begriffe Entwicklungsstelle, Konvergenzradius und Konvergenzintervall nicht den geringsten Sinn: Eine solche "normale" Reihe konvergiert oder divergiert, Punkt.

Vielen Dank. Ich kann mich nicht so gut ausdrücken, aber im Prinzip wollte ich das wissen.

20.08.2015, 15:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Also bei dem Randpunkt 0 divergiert die Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n2^{n}} (0-2)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{n=1}^{\infty } -\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Falsche Termumformung. unglücklich

unglücklich

Richtig ist

$\begin{align*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n2^{n}} (0-2)^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n} (-1)^n \end{align*}$

und diese Reihe konvergiert (!), und zwar gegen $\begin{align*} -\ln(2) \end{align*}$ . Generell gilt

$\begin{align*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n2^{n}} (x-2)^n = -\ln\left(1-\frac{x-2}{2}\right) = -\ln\left(\frac{4-x}{2}\right) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} 0\leq x<4 \end{align*}$ ,

das ist nämlich die bekannte Logarithmus-Potenzreihe, leicht verschoben und skaliert.

20.08.2015, 15:58

Seppelkoi

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Ok, bin jetzt wieder an dem Punkt, wo ich gar nix mehr verstehe.

Schreib mal bitte in einzelnen Schritten auf, wie du auf das Ergebnis kommst.

20.08.2015, 16:05

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} \frac{(0-2)^n}{2^n} = \frac{(-2)^n}{2^n} = \left( \frac{-2}{2} \right)^n = (-1)^n \end{align*}$ , und die entstehende Reihe konvergiert gemäß Leibnizkriterium.

Das weitere unten ist Bonus, da kannst du ja selbst recherchieren, das Stichwort "Logarithmus-Potenzreihe" habe ich ja gegeben.

20.08.2015, 16:07

Seppelkoi

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Ist meine Rechnung dann für den Randpunkt x = 4 wenigstens richtig? Oder hier genau so versagt?

20.08.2015, 16:09

HAL 9000

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Die stimmt: Für $\begin{align*} x=4 \end{align*}$ entsteht die harmonische Reihe, bekanntermaßen divergent (daher ja auch $\begin{align*} x<4 \end{align*}$ statt $\begin{align*} x\leq 4 \end{align*}$ ).

20.08.2015, 16:18

Seppelkoi

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Und ich stelle wieder fest:

Am Ende liegt es daran, dass ich nicht richtig vereinfachen kann... traurig

traurig

Hast du zufälligerweise einen Link zu einem PDF oder Sonstiges, Aufgaben mit ein bisschen Anspruch, bei denen ich Lösungen habe und wo ich Hauptsächlich Vereinfachen und richtig Kürzen usw. lernen kann?

Vielleicht hast du da ja was, was du für gut befindest und lehrreich. Ich habe von der Uni ein Ferienblatt bekommen, das sind die Aufgaben, bei denen ich dann hier nachfrage, da mir keine Lösungen (noch nicht mal ein Ergebnis) vorliegen.

Ansonsten danke für deine Mühe, die du dir für mich machst. Prost

Prost

Mit Zunge

20.08.2015, 16:58

HAL 9000

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Zu gymnasialen Übungsmaterialien musst du dich wohl an kompetentere Leute wenden, vielleicht wirst du ja hier

http://www.matheboard.de/board.php?boardid=38

fündig.

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