Drehwinkel einer Drehmatrix

20.08.2015, 15:47

omnomnom

Drehwinkel einer Drehmatrix

Hallo,
nur ein kurzes Problemchen…
Ich habe die Matrix

$\begin{eqnarray*} R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Von dieser soll ich den Drehwinkel bestimmen…
dazu benutze ich die Formel:
$\begin{eqnarray*} 2cos(\phi) +1 = spur(R) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2cos(\phi) +1 = 0 |-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2cos(\phi) = -1 |:2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\phi) = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi = \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$

Jetzt soll das aber falsch sein und $\begin{eqnarray*} \phi = \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray*}$ richtig sein… wo ist mein Fehler?

20.08.2015, 16:34

echnaton

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Der Cosinus ist auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig invertierbar.
Es gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\pi + \frac{4}{3}\pi = 2\pi \end{eqnarray*}$ .
Du hast den Winkel demnach einmal im positiven und einmal im negativen Drehsinn.

20.08.2015, 17:14

omnomnom

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Oh macht Sinn… die Mehrdeutigkeit von Sinus und Kosinus hat mich schon immer verwirrt, obwohl es ja logisch ist… trotzdem verstehe ich jetzt nicht ganz wie ich entscheiden soll, ob $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray*}$ der richtige Winkel für meine Matrix ist, da sich dieses Ergebnis ja nur aus den $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ergeben… somit kann es ja nicht eindeutig sein?!
Vielen Dank für deine Antwort smile

20.08.2015, 17:20

HAL 9000

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Zum Ursprungsproblem: Drehwinkel bezüglich welcher (gerichteten) Achse? Wenn du nur Kriterium

Zitat:

Original von omnomnom
$\begin{eqnarray*} 2cos(\phi) +1 = spur(R) \end{eqnarray*}$

zugrunde legst, wie unterscheidest du dann zwischen dem Drehwinkel deiner Matrix zu dem der Matrix $\begin{eqnarray*} R = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

20.08.2015, 23:16

omnomnom

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Durch die Fixpunktgerade… also… falls ich mich nicht verrechnet habe:

$\begin{eqnarray*} t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.08.2015, 12:13

echnaton

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Zitat:

Original von omnomnom
trotzdem verstehe ich jetzt nicht ganz wie ich entscheiden soll, ob $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray*}$ der richtige Winkel für meine Matrix ist, da sich dieses Ergebnis ja nur aus den $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ergeben… somit kann es ja nicht eindeutig sein?!

Das kann ich dir nicht beantworten. Ich weiß nicht, wie ihr den Drehwinkel definiert habt oder wie es allgemein üblich ist.

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