Grenzbestimmung und gegen Null tendiert

20.08.2015, 21:40

DAG

Grenzbestimmung und gegen Null tendiert

Hallo ich hoffe Ihr könnt mir mit unten stehender Aufgabe weiter helfen. Weiter unten meine Lösungsansätze:

Die jährlichen Ausgaben w (in GE/Jahr) für Werbung einer Unternehmung hängen ab vom (durchschnittlichen) Monatsumsatz U (in GE/Monat) und richten sich nach folgender Werbungs-Ausgabenfunktion w(U):

$\begin{eqnarray*} w=w(U)=150+200e^{- \frac {300000}{U²}} \end{eqnarray*}$ ; (U>0)

Gegen welchen (theoretischen) Wert streben die jährlichen Werbeausgaben der Unterneh-mung, wenn der durchschnittliche Monatsumsatz

a) über alle Grenzen strebt?
b) immer mehr gegen Null tendiert?

Lösungsansätze:

a)
da der Monatsumsatz über alle Grenzen strebt, setze ich $\begin{eqnarray*} \lim_{U \to \infty} \end{eqnarray*}$ und ich hoffe das ich damit den richtigen Weg gehe für diese Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} \lim_{U \to \infty} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 150+200e^{- \frac {300000}{U²}} \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es nun weiter? sollte ich gleich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ für U einsetzen? Oder sind noch Schritte davor zu beachten?

Danke für eure Hilfe im Voraus.

20.08.2015, 22:31

mYthos

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a)
Wenn der Nenner des Bruches im Exponenten gegen Unendlich geht, strebt der Exponent selbst gegen Null. Was bedeutet dies für die e-Potenz?

b)
Der Exponent geht gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ . Ein negativer Exponent hat zur Folge, dass die e-Potenz in den Nenner eines Bruches kommt. Also ist der Grenzwert eines Bruches zu untersuchen, wenn dessen Nenner gegen Unendlich geht.

mY+

22.08.2015, 12:01

DAG

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Hi mYthos, danke für deine Hilfe.

a)
$\begin{eqnarray*} \lim_{U \to \infty} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 150+200e^{- \frac {300000}{U²}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150+200e^{- \frac {300000}{\infty²}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150+200e^{-0} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150+200*1 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 350 \end{eqnarray*}$

Meinst du so ist es richtig? Oder mache ich immer noch etwas falsch?

b)
$\begin{eqnarray*} \lim_{U \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 150+200e^{- \frac {300000}{U²}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150+200e^{- \frac {300000}{0²}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150+200e^{-0} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150+200*1 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 350 \end{eqnarray*}$

@mYthos Wie kommst du denn im Exponenten auf $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ ? Irgendwas scheine ich falsch zu machen, ich hoffe du kannst mir da weiter helfen.
Danke schon mal im Voraus.

22.08.2015, 16:24

mYthos

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Also a) stimmt jetzt schon mal.
Bei b) allerdings hast du dich vertan.
Zunächst bearbeite das negative Vorzeichen des Exponenten! Es gilt: $\begin{eqnarray*} e^{-k} = \frac 1 {e^k} \end{eqnarray*}$
Danach überlege, dass im Exponenten (k) ein Bruch steht, dessen Nenner gegen Null geht. Infolge dessen geht der ganze Bruch $\begin{eqnarray*} e^k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .
Dies ist wiederum der Nenner des Bruches in der Angabe, in dessen Zähler 200 steht. Wohin geht dann der ganze Bruch?

mY+

23.08.2015, 12:04

DAG

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Danke für den Tipp. Also würde ich so weiter machen:
b)
$\begin{eqnarray*} \lim_{U \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 150+200e^{- \frac {300000}{U²}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \lim_{U \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 150+200 \frac {1}{e^{\frac {300000}{U²}}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150+200 \frac {1}{e^{\frac {300000}{0²}}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150+200 \frac {1}{e^{\infty}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150+200 \frac {1}{\infty} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150+200*0 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 150 \end{eqnarray*}$

So müsste es dann doch stimmen, oder?

23.08.2015, 12:21

mYthos

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Japp

23.08.2015, 12:55

Mathema

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Zitat:

= $\begin{eqnarray*} 150+200 \frac {1}{e^{\frac {300000}{0²}}} \end{eqnarray*}$

Von der Notation her finde ich diese Zeile nicht so glücklich und würde sie einfach weglassen. Es heißt ja auch: U geht gegen 0, nicht U gleich 0. Eine 0 im Nenner eines Bruches zu sehen, finde ich doch etwas merkwürdig, dieses ist einfach nicht definiert.

Wink

23.08.2015, 13:07

mYthos

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Ja, habe ich gesehen. Obgleich Formfehler drinnen sind, stimmt der Rechengang und das Resultat.
Der Mathematiker muss naturgemäß zwar pingelig sein, manchmal freut es jedoch, wenn das Problem verstanden und zu einem richtigen Ende gebracht wurde.

mY+

23.08.2015, 13:56

DAG

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Danke euch beiden smile

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