Matrix geometrisch interpretieren

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Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix geometrisch interpretieren
hey,

aufgabe ist, dass ich die abbildung geometrisch interpretieren soll, die mit der matrix
gegeben ist. die drehmatrix im R^2 wäre ja .

was ist das hier?
vielen dank!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ja nicht, was ihr euch bisher für Sätze, Bermerkungen oder Eigenschaften bestimmter geometrischer Abbildungsmatrizen notiert habt.
Prinzipiell ist es wohl nicht verkehrt, sich hier mit Dingen wie Determinanten, Orthogonalen Matrizen und Fixpunkten zu beschäftigen.
 
 
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

ok...

ich denke mir, dass man es ja auch so schreiben könnte:



hilft es mir, diese matrix zu interpretieren?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Begründung: Diese Identität ist falsch.
Offenbar weißt du nicht, wie man Matrizen multipliziert.
Meine Phantasie reicht leider auch nicht aus, um zu erraten, wie du darauf gekommen bist.
Kannst du das erklären ?
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Offenbar weißt du nicht, wie man Matrizen multipliziert.

ähem. ja, scheint so...

vergiss es, hat sich geklärt, war wohl zu müde...

darstellen kann man das mit einer matrix multiplikation ja nicht so einfach...

man könnte das ganze so schreiben: (oder werfe ich da jetzt etwas mit der sinus-cosinus addition durcheinander?)


aber das hilft mir glaube ich nicht, oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das hilft dir nicht.
Was dir helfen könnte, hatte ich ja bereits in meinem ersten Beitrag erwähnt.
Offenbar hast du aber eher keine Lust darauf einzugehen.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

lust schon, nur habe ich keinen ansatz...

also:
eine orthogonale matrix kann als produkt in der amtrixmultiplikation zur drehung und spiegelung helfen.
wenn du von einem fixpunkt redest, meint das, dass ich das ganz eum einen punkt drehe (ursprung?)?
die determinante ist ja der orientierte flächeninhalt vom parallelogramm der zwei vektoren. der sollte sich doch bei einer drehung oder spiegelung nicht ändern?

und wo sehe ich den zusammenhang? also es geht irgendwie um eine drehung. soviel meine ich zu verstehen. aber wie sieht das jetzt aus?...

nehme ich die normale drehmatrix und eine meine hier, bei einer drehung von 180° von dem vektor , dann sieht habe ich bei der drehmatrix eine drehung um 180 mit (-3 | -2) und bei meiner matrix habe ich eine drehung um 90 mit (3 | -2)...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also es geht irgendwie um eine drehung.


Eben nicht. Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit der Determinante 1.
Eine der beiden Eigenschaften ist hier nicht erfüllt.

Ich zitiere nochmal:

Zitat:
Ich weiß ja nicht, was ihr euch bisher für Sätze, Bermerkungen oder Eigenschaften bestimmter geometrischer Abbildungsmatrizen notiert habt.


Darauf kommt es an, denn ich kann ja nicht wissen, wie ihr da zum einen sonst immer vorgeht und zum anderen welche Sätze, Bemerkungen etc. ihr schon hattet bzw. welche geometrischen Abbildungstypen du so kennst / bisher behandelt wurden.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Eine der beiden Eigenschaften ist hier nicht erfüllt.


ok?

die determinante ist doch .
wenn ich auf orthogonalität prüfe, dann rechne ich doch und es gilt und damit ist die multiplikation ungleich der einheitsmatrix. also sind beide bedingungen nicht erfüllt?

und ja... das ist es ja... ich habe nachgelesen, wir wissen, dass drehungen und spiegelungen im R^2 orthogonal sind. für einen R^n gilt bei einer nxn matrix zudem, dass sie orthogonal ist, wenn sie invertierbar ist und das inverse gleich dem transponierten ist und dass das gilt, wenn die vektoren dieser matrix eine orthonormalbasis sind. mehr eigentlich nicht.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
die determinante ist doch .


Nein, sondern die Determinante ist doch .

Und da kann man jetzt zudem noch eine relativ bekannte trigonometrische Identität nutzen, ist dir klar welche ?
Ich glaube nämlich eher nicht, denn damit würdest du auch beim Orthogonalitätskriterium deiner Matizen auf ein anderes Ergebnis kommen und zudem auch blitzschnell erkennen.

Jetzt nennst du immerhin neben den Drehungen noch Spiegelungen, nennst aber gleichzeitig nur ein Kriterium (Orthogonalität), was eh beide Abbildungen erfüllen.
Wie kann man denn dann nun das eine vom anderen unterscheiden, habt ihr da gar keine klaren Definitionen zu aufgeschrieben ?
Wenn nicht, frage ich mich zwar, wie du die Aufgabe dann überhaupt lösen sollst, im Zweifel halt dann völlig losgelöst von deinen Unterlagen mit Hilfe vom Internet, denn da findest du zu den beiden Abbildungstypen einiges.

Wenn du mich dahingehend nochmal etwas aufklärst, dann können wir gerne weitermachen.
Ich verrate dir jetzt schon einmal, dass es sich um eine Spiegelung handelt - die Frage ist nur warum und vor allem an was.
Und für das "an was" könnte eben das Finden von Punkten hilfreich sein, die auf sich selbst abgebildet werden (Fixpunkte).
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nein, sondern die Determinante ist doch .

ja... Augenzwinkern

welche trigonometrische identität? habe wirklich keine ahnung.

nein, keine definitionen... nur beispiele des R^2 und R^3 bei drehungen und vom R^2 bei spiegelungen. wobei auch das nur am rande erwähnt wurde, das meiste weiß ich von wiki...

wahrscheinlich müssen wir uns das von anderen quellen besorgen, oder einfach wissen Tanzen

Zitat:
Und für das "an was" könnte eben das Finden von Punkten hilfreich sein, die auf sich selbst abgebildet werden (Fixpunkte).

du meinst keine eigenvektoren, oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
welche trigonometrische identität? habe wirklich keine ahnung.


https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrischer_Pythagoras

Zitat:
du meinst keine eigenvektoren, oder?


Doch, denn im Grunde sind Fixvektoren ja nichts anderes als Eigenvektoren zum Eigenwert 1, also solche Vektoren, die die Gleichung erfüllen.

Meine ganzen Nachfragen an dich sind übrigens keine Schikane, sie dienen nur dazu, um herauszufinden, mit welchen Mitteln/Methoden wir hier gemäß deiner Vorlesung (oder woher du auch immer diese Aufgabe hast) arbeiten können/dürfen. Wenn du jetzt sagst, dass ihr eigentlich erst ein paar Beispiele hattet, dann sollt ihr evtl ja auch einfach mal ein bisschen rumprobieren, um dann zumindest schon mal eine Vermutung zu bekommen. Mit Rumprobieren meine ich, dass man ja auch einfach mal ein paar Beispielwinkel einsetzen könnte und damit dann mit ein paar selbst gewählten Punkten (Urbildern) testet, wohin sie denn nun durch die gegebene Matrix abgebildet werden.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrischer_Pythagoras

ok, das erklärt einiges... Augenzwinkern

Zitat:
Doch, denn im Grunde sind Fixvektoren ja nichts anderes als Eigenvektoren zum Eigenwert 1, also solche Vektoren, die die Gleichung erfüllen.

ok, ergibt sinn. ich weiß noch nicht wie das ergebnis interpretiert werden müsste, aber zuerst der eigenvektor... leider kann ich aber nicht mit sinus und cosinus rechnen traurig
man müsste doch dies hier lösen: , oder?

Zitat:
Meine ganzen Nachfragen an dich sind übrigens keine Schikane, sie dienen nur dazu, um herauszufinden, mit welchen Mitteln/Methoden wir hier gemäß deiner Vorlesung (oder woher du auch immer diese Aufgabe hast) arbeiten können/dürfen.

alles ok Big Laugh danke für deine mühe und gute hilfe Freude

und herumprobiert habe ich ja, aber das ganze als eine drehung um 90° gedeutet, statt es als eine spiegelung anzusehen... in der vorlesung wird nichts mehr erläutert, diese frage ist klausurrelevant... es geht also über das "erfahrungen bekommen" hinaus... leider Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Lass dich vielleicht auch hier von inspirieren, die Matrix ist zwar nicht dieselbe aber ganz ähnlich:

http://numod.ins.uni-bonn.de/teaching/ws09/ingmath3/u05L.pdf

Meiner Meinung nach wird das auf eine Kreisspiegelung hinauslaufen, aber vielleicht kann da ja noch ein anderer Mitleser mehr zu sagen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld
ok...

ich denke mir, dass man es ja auch so schreiben könnte:



hilft es mir, diese matrix zu interpretieren?


Die Idee mit der Matrizenmultiplikation war doch gar nicht so schlecht. Nur war es die falsche Matrix. Mit gilt



Und die Verkettung von Abbildungen entspricht der Multiplikation ihrer Matrizen. Lies das Matrizenprodukt wie bei Abbildungen von rechts nach links.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
http://numod.ins.uni-bonn.de/teaching/ws09/ingmath3/u05L.pdf

sieht ja kompliziert aus...

@leopold
und was kann ich aus dieser matrix herauslesen? das ist ja fast ne einheitsmatrix, nur das die eine 1 negiert wird...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Was ist das denn für eine Abbildung, die einen Punkt auf den Punkt abbildet, also bei der ersten Koordinate das Vorzeichen ändert und die zweite Koordinate beläßt? Skizziere den Vorgang in einem Koordinatensystem. Wenn es abstrakt zu kompliziert ist, beginne mit Beispielen:

Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

ist das eine spiegelung an der y-achse?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist es. Und jetzt kann man rechnen oder sich das geometrisch vorstellen. Das zweite scheint mir hier schneller zu gehen. Wir haben die ursprüngliche Matrix und die beiden Matrizen mit



Die durch die Matrizen beschriebenen Abbildungen sind

für : eine Drehung um den Ursprung mit als Drehwinkel
für : eine Spiegelung an der -Achse

Jetzt wird zuerst gedreht, dann gespiegelt. Das ist dann die gesuchte Gesamtabbildung. Fragen wir nach Fixpunkten. Auf einem Kreis um den Ursprung bestimmen wir den Punkt unter dem Winkel zur -Achse oder, was dasselbe ist, unter dem Winkel zur -Achse (mach dir eine Skizze). Wenn man ihn zuerst mit dreht und dann weiter mit spiegelt, kommt man wieder zu ihm zurück. Er ist also ein Fixpunkt. Das zeigt, daß die Gerade, die im Winkel zur -Achse steht, eine Fixgerade ist. Und nun?
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

ok, drehung und spiegelung in einem. soweit verstehe ich das Augenzwinkern

dieses vorgehen (also eine leicht veränderte einheitsmatrix in der multiplikation mit einer dreh oder spiegelmatrix, die man halt lernt) müsste doch für die "meisten" also für die bei mir relevanten matrizen funktionieren?

was muss denn noch bei einer solchen aufgabe dazu? die fixpunkte scheinen ja wichtig zu sein, im prinzip kann ich ja aber bereits sagen, welche geometrische funktion diese matrix hat und habe sie damit geometrisch intepretiert.

woher hast du denn die winkel und ?
und mit meinr zeichnung funktioniert das nicht so ganz... wenn ich zum beispiel nehme, dann habe ich zweimal in etwa -45°, die ich einmal von der x-achse aus, das andere mal von der y-achse aus auftrage. dass sind nicht dieselben punkte.
bei 90° funktioniert es, dass ich die gerade hinsichtlich x-achse um 90 grad drehe und dann noch einmal an y spiegele. das ergebnis ist die gerade hinsichtlich der y-achse. das funktioniert bei anderen winkeln aber nicht... unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld
dieses vorgehen (also eine leicht veränderte einheitsmatrix in der multiplikation mit einer dreh oder spiegelmatrix, die man halt lernt) müsste doch für die "meisten" also für die bei mir relevanten matrizen funktionieren?


Diese Frage ist so allgemein gehalten, daß man sie nicht guten Gewissens mit ja oder nein beantworten kann. Die Welt ist doch viel komplizierter, als daß sie sich in eine All-Regel pressen ließe.

Zitat:
Original von Frageheld
woher hast du denn die winkel und ?
und mit meinr zeichnung funktioniert das nicht so ganz... wenn ich zum beispiel nehme, dann habe ich zweimal in etwa -45°, die ich einmal von der x-achse aus, das andere mal von der y-achse aus auftrage. dass sind nicht dieselben punkte.


Woher ich die Winkel habe? Ich habe einfach ein bißchen probiert und nachgedacht. Und dann habe ich gemerkt, daß es damit funktioniert. Von der -Achse aus gesehen, mußt du den Winkel messen, von der -Achse aus den Winkel . Im Spezialfall ergibt das einmal , das andere Mal . Man kommt also an dieselbe Stelle. Da ist kein Widerspruch. Und auch bei allen anderen Winkel klappt es.
Die Aufgabe ist aber noch nicht vollständig gelöst. Wenn wir wissen, daß die Ursprungsgerade, die im Winkel zur -Achse steht, Fixpunktgerade ist, wie könnte man dann die durch die Matrix beschriebene Abbildung "mit einem Mal" beschreiben, statt sie in zu zerlegen?
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

entspricht das dann einer spiegelung an dieser fixgeraden? wäre ja logisch, dass alle punkte auf dieser achse gleich bleiben.

sry... aber wenn ich habe, dann habe ich einmal ~-43 und einmal -45. die 43 müsste doch positiv sein, damit dass der selbe punkt ist, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld
entspricht das dann einer spiegelung an dieser fixgeraden? wäre ja logisch, dass alle punkte auf dieser achse gleich bleiben.


Da spricht alles dafür. Natürlich reicht es nicht zu sagen, daß die erwähnte Gerade Fixpunktgerade ist. Man muß da schon noch mehr Argumente bringen.

Zitat:
Original von Frageheld
sry... aber wenn ich habe, dann habe ich einmal ~-43 und einmal -45. die 43 müsste doch positiv sein, damit dass der selbe punkt ist, oder?


Ich weiß nicht, was du da rechnest. Wo kommen auf einmal die 43° (sic!) her?
Eigentlich ist das doch Elementargeometrie. Denk dir eine Ursprungsgerade, die durch den I. und III. Quadranten läuft und mit der x-Achse einen Winkel von 57° einschließt. Dann erhält man sie von der y-Achse aus durch eine Drehung um -23°.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

die fixgerade ist die gerade, an der gespiegelt wird. die fixpunktgerade ist diejenige, auf der jeder punkt auf sich selbst abgebildet wird. stimmt das so?

ich meine man müsste darüber weiter argumentieren?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Das lateinische Wort "fixus" bedeutet "fest". Denk an das Fremdwort "fixieren" oder an den Begriff "Fixstern". Es gibt Fixpunkte, Fixgeraden, Fixkreise, Fixstrecken und so weiter. Damit ist nichts anderes gemeint, als daß diese Objekte bei der jeweils vorliegenden Abbildung als ganze auf sich selber abgebildet werden, auch wenn das für ihre einzelnen Punkte eventuell nicht zutrifft.

Wenn du etwa eine Achsenspiegelung hast, dann ist jede Orthogonale der Spiegelachse eine Fixgerade, denn sie wird beim Spiegeln auf sich selbst abgebildet. Außer dem Schnittpunkt der Orthogonalen mit der Spiegelachse besitzt eine solche Fixgerade aber keine Fixpunkte. Die Spiegelachse selbst ist auch eine Fixgerade, denn auch sie fällt beim Spiegeln auf sich selbst. Allerdings sind alle ihre Punkte Fixpunkte. Die Spiegelachse ist daher eine besondere Fixgerade. Weil sie aus lauter Fixpunkten besteht, ist sie eine Fixpunktgerade.

Eine nichttriviale Drehung besitzt offenbar keine Fixgeraden. Dafür besitzt sie aber Fixkreise. Nämlich welche?

Jetzt betrachte als Beispiel die durch die Matrix



vermittelte Abbildung. Du kannst sofort nachrechnen, daß jeder Punkt der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten auf sich selbst abgebildet wird: . Daher ist eine Fixpunktgerade der Abbildung. Dennoch ist die Abbildung keine Achsenspiegelung an . Zum Beispiel gilt: . Wenn du jetzt aber die Punkte und verbindest, so steht die Strecke nicht senkrecht auf der Fixpunktgeraden. Also liegt keine Achsenspiegelung vor. (Die Abbildung ist übrigens eine Schrägspiegelung an ).

Um also zu zeigen, daß deine Abbildung eine Achsenspiegelung ist, mußt du dich entweder auf Erkenntnisse der Vorlesung stützen. Stichwort: orthogonale Abbildungen und Matrizen. Oder du mußt direkt argumentieren, rechnerisch oder geometrisch. Wodurch ist denn eine Achsenspiegelung gekennzeichnet? Doch dadurch, daß die Verbindungsstrecke von Punkt und Bildpunkt senkrecht auf der Spiegelachse steht und von dieser halbiert wird ...
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke für das beispiel Freude Gott

wenn ich mal das ausspucke, was ich aus der vorlesung habe:
bei einer abbildung ist orthogonal, wenn ist.
damit kann ich nix anfangen unglücklich

dann weiß ich was eine orthonrmalenbasis ist, und dass drehungen im 2 dimensionale bereich orthogonal sind...

reicht das zur begründung des "entweder"?

zum "oder":
könnte ich mir einen punkt v nehmen und ihn einmal spiegeln, diesen punkt v' nennen und damit zeigen, dass diese beiden an der fixpunktgerade gespiegelt wurden? ich könnte dann auch über eine fixgerade argumentieren, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beim konkreten Rechnen hat man Matrizen statt Abbildungen. Eine Matrix ist orthogonal, wenn die Einheitsmatrix ist. Man kann auch sagen: wenn die Spalten (oder Zeilen) der Matrix eine Orthonormalbasis bilden. Für



ist das der Fall. Weiter vorne im Strang hast du mit Bjoern1982 ja schon daran gearbeitet. (Allerdings scheinst du die Bedingung mit durcheinandergeworfen zu haben. Das sind zwei verschiedene Dinge.)
Jetzt kommt es darauf an, was ihr in der Vorlesung über zweireihige orthogonale Matrizen alles gelernt habt. Die beschreiben nämlich Drehungen (wenn ihre Determinante 1 ist) oder Spiegelungen (wenn ihre Determinante -1 ist). Und da du weiter oben mit Bjoern1982 schon geklärt hast, daß das zweite vorliegt (trigonometrischer Pythagoras), und da die Fixpunktgerade auch feststeht, kann es sich nur um eine Spiegelung an dieser Fixpunktgeraden handeln.
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