Unabhängige Zufallsvariablen - Erwartungswert

21.08.2015, 11:52

steviehawk

Unabhängige Zufallsvariablen - Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe eine Frage,

in einem Beweis habe ich folgendes gelesen:

$\begin{eqnarray*} ... + \sum_{i,j=1 \ i \neq j}^n \mathbb E (X_i^2 X_j^2) \end{eqnarray*}$

Da steht nun als Notiz drunter: $\begin{eqnarray*} \mathbb E (X_i^2 X_j^2) = \mathbb E (X_i^2) \mathbb E (X_j^2) \end{eqnarray*}$

hier weiß ich nicht, warum ich das machen darf??

Meine Ideen:
Es handelt sich um den Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen. Die Zufallsvariablen sind in diesem Beweis als $\begin{eqnarray*} (iid) \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} \mathcal L^4 \end{eqnarray*}$ angenommen und den Beweis zu vereinfachen. Ich weiß, dass für zwei unabhängige ZV'en gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E (XY) = \mathbb E (X) \cdot \mathbb E (Y) \end{eqnarray*}$

woher weiß ich denn, dass dann auch $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y^2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind?

Es gilt ja jedenfalls i.A, nicht, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X^2) = \mathbb E(X) \cdot \mathbb E(X) \end{eqnarray*}$ da X i.A. nicht zu sich selbst unabhängig.

Kann mir das jemand erklären?

Danke smile

21.08.2015, 11:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
woher weiß ich denn, dass dann auch $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y^2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind?

Sind $\begin{align*} X,Y \end{align*}$ unabhängig, sowie $\begin{align*} g,h \end{align*}$ messbare Funktionen, dann sind auch $\begin{align*} g(X),h(Y) \end{align*}$ unabhängig - kann man relativ einfach beweisen.

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