Greensche Formel, Normalenableitung

21.08.2015, 11:57	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Greensche Formel, Normalenableitung Hallo. Das Problem ist so: Gegeben sei ein Gebiet $\begin{eqnarray} \Omega = (0,1) \end{eqnarray}$ und Zeitintervalle $\begin{eqnarray} I_j = [t_{j-1}, t_j] \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} 0 < t_0 < ... < t_n = T \end{eqnarray}$ . Ich betrachte folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \sum_j \int_{I_j} \int_\Omega \Delta y \Delta \phi \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \phi \in H_0^{2,1} \end{eqnarray}$ beliebig. Nun möchte ich die zweite Ableitung von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ "übertragen" unter Verwendung der Greenschen Formel. Gegeben ist auch noch, dass $\begin{eqnarray} y = \Delta y = 0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (0,T) \times \partial \Omega \end{eqnarray}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray} H_0^{2,1} = L^2(0,T,H^2(\Omega) \cap H_0^2(\Omega)) \cap H^1(0,T,L^2(\Omega) \end{eqnarray}$ Ich würde folgendes berechnen: $\begin{eqnarray} - \sum_j \int_{I_j} \int_\Omega \Delta y \Delta \phi <br /> = \sum_j \int_{I_j} \int_\Omega \nabla \Delta y \nabla \phi - \sum_j \int_{I_j} \int_{\partial \Omega} \Delta y \frac{\partial \phi}{\partial n}<br /> = \sum_j \int_{I_j} \int_\Omega \nabla \Delta y \nabla \phi<br /> \end{eqnarray}$ (da $\begin{eqnarray} \Delta y = 0 \end{eqnarray}$ auf dem Rand nach Vor.) $\begin{eqnarray} = - \sum_j \int_{I_j} \int_\Omega(\Delta^2 y ) \phi + \sum_j \int_{I_j} \int_{\partial \Omega} \frac{\Delta y}{\partial n} \phi \end{eqnarray}$ Meine Fragen nun: 1.) Ist die Rechnung soweit ok? 2.) Was bedeutet das letzte Integral? Also die Ableitung von $\begin{eqnarray} \Delta y \end{eqnarray}$ in Richtung der äußeren Normalen? Kann man das irgendwie "ausrechnen"? Oder eine der Voraussetzungen anwenden? Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »