Grenzwert einer Funktion mit Epsilon

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lule Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Funktion mit Epsilon
Meine Frage:
Gegeben sind die Funktionen

bestimme den Grenzwert g und gebe für jedes
ein an,
so dass
für alle

a)



b)


Meine Ideen:
Zu a)
g = -3 und damit bekomme ich am Ende

die Lösung sagt jedoch nur

Kann es also sein, dass die Lösung irgendwo abgeschätzt wurde ?
z.B.

und zu b)
Hier weiß ich nicht genau wie ich den Betrag später auswerten soll.
g = 0



Den betrag unter der Wurzel müsste ich ja weg lassen können da x > 0 gilt.


Nun weiß ich nicht weiter, da im Zähler x-1 steht kann der Bruch doch auch negativ werden. Wie werte ich das nun aus ?

Die Lösung lautet übrigends :

Da weiß ich nicht wie man darauf kommt, das heißt doch das man irgendwo was begrenzt und deshalbt kommt dieses max{1,..} zustande oder ?

Danke schon mal für eure Hilfesmile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
unvollständige Aufgabenstellung
Zitat:
Original von lule
bestimme den Grenzwert g

Das ist wohl die Kurzform für

Zitat:
bestimme den Grenzwert


? verwirrt
lule Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unvollständige Aufgabenstellung
Ja verzeihung, da hast du recht!
Es ist
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lule
Zu a)
g = -3 und damit bekomme ich am Ende

die Lösung sagt jedoch nur


Die Aufgabenstellung sagt nur, dass man ein angeben soll, so dass für alle eben jenes gelten soll.

Sie sagt nicht, dass für jedes , welches erfüllt, auch dieses gelten muss - geht ja auch nicht immer (z.B. kann die Lösungsmenge von auf mehrere Intervalle, also mit Lücken zwischendrin, verteilt sein).

Insofern kann die Lösung gar nicht eindeutig sein - es ist nur klar, dass es ein kleinstes mögliches gibt, aber sämtliche größer gewählten erfüllen ebenfalls die Bedingungen der Aufgabenstellung. Im vorliegenden Fall a) ist jener kleinste wert, aber das größere ist eben auch eine passende Wahl. Augenzwinkern

Zitat:
Original von lule
Kann es also sein, dass die Lösung irgendwo abgeschätzt wurde ?
z.B.

Das wäre eine plausible Begründung dafür, wie man zu so einem etwas "lascheren" (dennoch richtigen) kommt.

-----------------------------------------------------------------

b) ist ein gutes Beispiel dafür, dass man das ganze hier nicht verbissen als exakte Ungleichungslösung ansehen muss: Mit dem für gültigen



ist klar, dass hinreichend ist für das angestrebte , und mehr brauchen wir ja nicht. Augenzwinkern

Zitat:
Original von lule
Die Lösung lautet übrigends :

Hmm, steht da nicht eher ? verwirrt
lule Auf diesen Beitrag antworten »

Okay Aufgabe a macht sinn für mich.

Zur Lösung ja hier steht

hab natürlich ^2 vergessen, unglücklich tut mir leid.

Aber wieso kann man bei b sagen,
sei x >= 1 ?
Damit ziehe ich doch alle 0 < X < 1 aus meiner Betrachtung herraus oder etwa nicht ?
Oder korrigiere ich deswegen die Lösung und gebe deshalb das Maximum einer Menge an ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lule
Aber wieso kann man bei b sagen,
sei x >= 1 ?
Damit ziehe ich doch alle 0 < X < 1 aus meiner Betrachtung herraus oder etwa nicht ?

Was meinst du wohl, was das ausmacht, wenn es um den Grenzwert geht? Augenzwinkern

Nichts, aber auch gar nichts: Du könntest auch alle von der Betrachtung ausschließen, und sie ist dennoch Ok: Du musst dann nur gewährleisten, dass dein
dann auch mindestens 1000000 ist.

Dadurch, dass man das in mit reingeschrieben hat, wird garantiert kein benötigt, wenn es um geht.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Funktion mit Epsilon
Zwischenbemerkung

Zitat:
Original von lule
bestimme den Grenzwert g und gebe ... an


Dieses gräßlich falsche Deutsch greift immer mehr um sich. Jetzt hat es auch schon die Übungszettel zur Vorlesung erreicht. Oder ist das eine Schöpfung des Fragestellers?
lule Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, ja klar ! Man untersucht ja einen Grenzwert gegen unendlich ...
Danke HAL Gott


Aber ich hab leider noch eine weitere Frage...
Also die Gegebenheiten ändern sich etwas:





und

gesucht ist nun für jedes
ein , sodass

für alle gilt.

Lösung hier lautet:


Grenzwert g = 0

Ich weiß einfach nicht wie ich hier den Betrag hier auflösen soll, ich hatte erst gedacht
Aber dabin ich mir nicht besonders sicher...

@Leopold : Das war eine eigene Kreation.
lule Auf diesen Beitrag antworten »

Oder doch besser so, ich glaube das 1. ist quatsch.

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit man hier nicht alles doppelt erzählen muss zu Grenzwerten einerseits und Grenzwerten andererseits, ziehe ich mich kurzerhand so aus der Affäre:

Es ist , d.h. man betrachtet einfach



und für das hier dann gefundenen mit für alle besteht dann der Zusammenhang zu dem von dir gesuchten in deiner neuen Aufgabenstellung. Augenzwinkern


Oder in Worten: Wir spiegeln den ganzen Quatsch (Funktionsgraph etc.) an der y-Achse. smile
lule Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist mein Ansatz denn korrekt ?
Oder wie kommen diese -4 im Zähler in der Lösungsmenge zustande ?

Wie komme ich von:


zu
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lule
Lösung hier lautet:

Es müsste natürlich wieder heíßen: Eine mögliche Lösung ist das, nicht die (einzige wahre) Lösung. Augenzwinkern

Also gut, ich verfolge mal nicht meinen Vorschlag weiter, sondern gehe auf deinen ein: Es wird wieder grob abgeschätzt, für ist



Hinreichend wäre jetzt also , umgestellt





.

Wenn du jetzt ein wenig verwirrt bist ob der vielen negativen Vorzeichen: Genau deswegen mein Vorschlag für den Übergang zu , da befindet man sich auf gewohnteren positiven Pfaden. Augenzwinkern
lule Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal danke, das war genau das was ich meinte ! smile

So aber ich wollte deinen Ansatz nicht unter den Teppich kehren sondern, erstmal meinen zu Ende verstehen.

Du sagst also
Und daraus ergibt sich dann eine neue Funktion


Und mit dieser Funktion bin ich nun wieder im positiven unterwegs und kann ganz normal weiter rechnen ?





Wäre das dann so richtig wie du das meintest ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das meinte ich.

Die mittlere Abschätzung stimmt natürlich nur für .
lule Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

ja klar die Abschätzung gilt nur mit x > 1.
Dann danke für deine Hilfe und bis demnächst smile
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