Mehrfacher Zeilentausch bei Matrizen

21.08.2015, 20:20	DerJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrfacher Zeilentausch bei Matrizen Meine Frage: Hey Leute, ich habe ein kleines Problem, bei dem ich als Nicht-Mathematiker gerad nicht weiter komme und die Hilfe von euch benötige. ich nutze für meine Masterarbeit einen Algoritmus der die Zeilen einer Matrix nach einem bestimmten Schema tauscht. Die Durchführung in Matlab ist auch kein Problem. Das Problem besteht darin, den Algorithmus mathematisch korrekt aufs Blatt zu bringen. Hier mal ein kleines Beispiel: $\begin{eqnarray} <br /> V \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 <br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Durch die linksseitige Multiplikation von V an A, werden also die Zeilen von A getauscht. Zur Darstellung mehrerer Verschiebung in einer Gleichung muss ich demnach Klammern verwenden: $\begin{eqnarray} <br /> V_1 \cdot [V_2 \cdot A] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 <br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Problematisch wird es nun für mich bei der Formulierung eines allgemein gültigen Algorithmus. Die Verwendung eines Produktzeichens funktioniert leider nicht ohne Weiteres, da die Reihenfolge der Multiplikation eine Rolle spielt. $\begin{eqnarray} <br /> \prod_{i=1}^n V_i \cdot A<br /> \end{eqnarray}$ Ist das irgendwie darstellbar? Oder habt ihr vielleicht andere Ideen, sowas vernünftig auszudrücken? Hier noch ein paar Beispiele, wie die Rechnung funktionieren sollte: $\begin{eqnarray} <br /> V_1 \cdot [V_2 \cdot [V_3 \cdot A]]<br /> V_1 \cdot [V_2 \cdot [V_3 \cdot [V_4 \cdot A]]]<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bisher nicht mehr als das war schon oben steht!
21.08.2015, 20:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrfacher Zeilentausch bei Matrizen Die Klammerungen sind nicht notwendig, da die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Im Notfall definierst du das Produktzeichen kurz als das übliche $\begin{eqnarray} \prod_{i = 1}^n V_i = \big( \prod_{i = 1}^{n-1} V_i \big) V_n \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \prod_{i = 1}^1 V_i = V_1 \end{eqnarray}$ . Damit hast du die Reihenfolge eindeutig festgelegt. Ansonsten gilt: Informelle, aber leicht verständliche Notation ist generell sehr formeller, dafür korrekte, Notation vorzuziehen. Wenn du $\begin{eqnarray} V_1 \cdot V_2 \cdot \ldots \cdot V_n A \end{eqnarray}$ schreibst, werden alle wissen was gemeint ist. Edit: Ich glaube das übliche wäre sogar $\begin{eqnarray} \prod_{i = 1}^n V_i = \big( \prod_{i = 1}^{n-1} V_i \big) V_n \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \prod_{i = 1}^0 V_i = 1 \end{eqnarray}$ . Damit hat man nämlich auch das "leere" Produkt mitdefiniert.
21.08.2015, 21:41	DerJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo IfindU, vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich steh leider noch etwas auf dem Schlauch. Du sagst ja, die Matrixmultiplikation verhalte sich assoziativ, was ja auch eigentlich klar ist. Trotzdem liegt dort noch mein Hauptproblem, da ich über die zugehörige Matlab Funktion verschiedene Ergebnisse für unterschiedliche Klammersetzung kriege. Hier ein kleines Beispiel (hoffentlich ohne Rechenfehler): $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Ist vielleicht etwas unübersichtlich, aber in der oberen Zeile berechne ich von links nach recht und bei der unteren von rechts nach links und ich bekomme zwei unterschiedliche Ergebnisse raus.
22.08.2015, 08:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten Zeile hast du im vorletzten Schritt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Richtig wäre $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Und damit ergibt sich das gleiche wie unten. Falls MatLab wirklich etwas anderes ausspuckt, dann hat er einen Bug (was ich bei so elementaren Sachen eher ausschließen würde), oder was wahrscheinlicher ist, du einen Tippfehler bei den Matrizen oder den Multiplikationen hast. Ich kenne mich nicht wirklich mit Matlab aus, aber es könnte sein, dass du an einer Stelle einen Stern statt einem Punkt geschrieben hast und das plötzlich das Produkt als Skalarprodukt auffasst, oder einen Term erst transporniert, oder ... Aus mathematischer Sicht ist die Reihenfolge schlichtweg egal.
22.08.2015, 10:10	DerJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke für die erneute Bestätigung. Werd das dann mal so übernehmen und meine Funktion nochmal genauer untersuchen! Grüße!
22.08.2015, 10:55	DerJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay eine kleine Frage hätte ich noch zur Darstellung. Ich benötige 2 Produktzeichen, da es zwei Parameter gibt, die berücksichtigt werden müssen. Für i und j sollen quasi n+m Matrizen von links mit A multipliziert werden. Es soll folgendes darstellen, wobei S eine ganzzahlige Konstante darstellt: $\begin{eqnarray} V_1, V_2, ..., V_n, V_{S+1}, V_{S+2}, ..., V_{S+m} \end{eqnarray}$ und NICHT: $\begin{eqnarray} V_1, V_2, ..., V_i, V_{n+1}, V_{n+2}, ..., V_{n+m} \end{eqnarray}$ . Darf ich das in dem moment so schreiben: $\begin{eqnarray} <br /> \prod_{i=1}^n \prod_{i=S+1}^{S+m} V_i<br /> \end{eqnarray}$ oder muss ich: $\begin{eqnarray} <br /> \prod_{i=1}^n V_i \prod_{i=S+1}^{S+m} V_i<br /> \end{eqnarray}$ ?
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22.08.2015, 11:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erste hat zwei 'verschiedene' Laufvariablen $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ . Das ist generell kein gutes Zeichen -- gibt gerade mehrere Deutungen davon, und keine die du meinst. Das zweite ist vollkommen in Ordnung, auch wenn ich noch einen Malpunkt dazwischensetzen würde, damit man es eher als $\begin{eqnarray} \left( \prod_{i = 1}^n V_i\right) \cdot \left( \prod_{i = S+1}^{S+m} V_i\right) \end{eqnarray}$ deutet, als als $\begin{eqnarray} \prod_{i = 1}^n\left( V_i \prod_{i = S+1}^{S+m} V_i\right) \end{eqnarray}$ . Konvention sieht die Deutung als ersteres vor, und die zweite Interpretation hätte auch das Problem der Doppelbelegung von $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , allerdings ist der trennende Malpunkt doch eine nette Geste. Also $\begin{eqnarray} \prod_{i = 1}^n V_i \cdot \prod_{i = S+1}^{S+m} V_i \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \prod_{i = 1}^n V_i \prod_{i = S+1}^{S+m} V_i \end{eqnarray}$ . (Kann jetzt eher subjektiv sein, aber so ist das mit Notation hin und wieder )
22.08.2015, 11:47	DerJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt,. vielen Dank!

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