Fourier Transformation - Probleme bei Transformation in Zeitbereich (Integral)

23.08.2015, 01:23

Mathe_Board

Fourier Transformation - Probleme bei Transformation in Zeitbereich (Integral)

Meine Frage:
Hallo liebes Mathe Board smile

ich komme bei einer Aufgabe bezüglich FT nicht weiter und da alle Mitstudenten derzeit im Urlaub sind (Sommer und Semesterferien), muss ich nun leider euch mit meiner Unwissenheit belästigen Augenzwinkern

Gegeben ist Folgendes (siehe Anhang, die gegebene Gleichung ist mit einer eingekreisten 1 markiert.) und die Aufgabe lautet:
Man bestimme y(t)!

Ich weis echt nicht weiter, hoffe wirklich, dass mir ein Mathematiker hier etwas zur Hand gehen kann smile

Vielen Dank euch schon mal und liebe Grüße! smile

Meine Ideen:
Ich habe den Zusammenhang aus meiner FT-Tabelle rausgesucht (siehe Anhang, Stelle ist markiert mit einer eingekreisten 2), dieser hat mir jedoch sehr wenig weitergeholfen.

Ich habe dann die gegebene Funktion abgeleitet (siehe Anhang, Nummer 3).
Was ich noch versucht habe, ist, komplex konjugiert zu erweitern, nachdem ich die Funktion abgeleitet habe und auch Real- und Imaginärteil zu trennen, was mich jedoch auch nicht weiterbrachte... (Anhang Nummer 4).

23.08.2015, 16:11

Huggy

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RE: Fourier Transformation - Probleme bei Transformation in Zeitbereich (Integral)
Da dir bisher niemand geantwortet hat, gebe ich mal meinen Senf dazu, obwohl ich kein Spezialist auf dem Gebiet bin.

Es ist naheliegend, mit der Formel (2) zu beginnen. Nur weiß ich nicht, was dabei deine Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ soll? Aus der Aufgabe würde mit (2) folgen:

$\begin{eqnarray*} \frac {X(\omega)}{j\omega}=\frac {2}{j\omega-\omega^2} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich sofort nach $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ umstellen und man könnte dann die Rücktransformation auf $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ machen. Dabei ergibt sich aber ein Problem. Dieses $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ ist bei $\begin{eqnarray*} \omega=0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Wenn man frech durch $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ kürzt, was nur für $\begin{eqnarray*} \omega \neq 0 \end{eqnarray*}$ zulässig ist, und dann in dem Ergebnis trotzdem $\begin{eqnarray*} \omega=0 \end{eqnarray*}$ setzt, erhält man ein $\begin{eqnarray*} X(0) \end{eqnarray*}$ , das nicht zu dem laut Aufgabe erforderlichen $\begin{eqnarray*} X(0) \end{eqnarray*}$ passt.

Aber was spricht denn dagegen, die Rücktransformation der gegebenen Fouriertransformierten

$\begin{eqnarray*} \frac {2}{j\omega-\omega^2}+4\pi^2 \delta(\omega) \end{eqnarray*}$

zu machen und das Ergebnis dann nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abzuleiten?

23.08.2015, 17:17

Mathe_Board

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Hallo Huggy,

vielen lieben Dank für deine Antwort! smile

Also, abgeleitet habe ich, da die gegebene Fouriertransformierte eine Integralfunktion ist, d.h. also ich muss einmal ableiten um y(t) nach der transformation zu erhalten, das war meine idee Augenzwinkern

Die Idee, zuerst transformieren, dann im Zeitbereich abzuleiten, kam mir auch, jedoch kam ich auch hier nicht weiter, da ich nicht weis wie ich hier vorgehen soll.
Kannst du mir hierbei vllt. helfen?

Also bei: $\begin{eqnarray*} 4\pi^{2} * Dirac(w) \end{eqnarray*}$ kann ich wohl den Zusammenhang: $\begin{eqnarray*} 1 ---- 2\pi * Dirac(w) \end{eqnarray*}$ verwenden oder?
Addition bleibt ja gleich, aber wie transformiere ich den Bruch?
Hab auch versucht komplex konjugiert zu erweitern, komme hier jedoch nicht weiter, was übersehe ich?

Danke dir sehr für deine Antwort! smile

Beste Grüße smile

23.08.2015, 17:35

Huggy

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Zitat:

Original von Mathe_Board
Also bei: $\begin{eqnarray*} 4\pi^{2} * Dirac(w) \end{eqnarray*}$ kann ich wohl den Zusammenhang: $\begin{eqnarray*} 1 ---- 2\pi * Dirac(w) \end{eqnarray*}$ verwenden oder?

Ja.

Zitat:

Addition bleibt ja gleich, aber wie transformiere ich den Bruch?

Mach erst mal eine Partialbruchzerlegung. Die beiden sich daraus ergebenden Brüche sollten dann schon in deiner Tabelle stehen. In meiner Formelsammlung stehen sie.

23.08.2015, 18:19

Mathe_Board

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Vielen Dank! smile

Also ich habe jetzt die PBZ gemacht:

$\begin{eqnarray*} 2 = \frac{A}{w} + \frac{B}{j-w} \end{eqnarray*}$

Mit w=j und w=0 ergibt sich für A und B:

$\begin{eqnarray*} A=B=\frac{2}{j}=-2j \end{eqnarray*}$

Zusammen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{-2j}{w} - \frac{2j}{j-w} \end{eqnarray*}$

Und dafür finde ich einfach auch nach langem rumprobieren keine passende Form zum Transformieren :/

23.08.2015, 19:07

Huggy

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{-2j}{\omega} - \frac{2j}{j-\omega} =\frac {2}{j\omega}-\frac {2}{1+j\omega} \end{eqnarray*}$

In der rechten Form stehen die Brüche in meiner Formelsammlung, der zweite Bruch ohne den Faktor 2. Wenn deine Tabelle das nicht hergibt, wird es schwierig. Dann müsstest du die Rücktransformation per Hand über das Integral machen. Da die beiden Brüche in meiner Tabelle weit oben stehen, lassen sie sich kaum weiter vereinfachen.

23.08.2015, 19:59

Mathe_Board

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ok, vielen dank nochmals! Big Laugh

Das Problem ist, dass diese Transformationsformel nicht in unseren für die Prüfung zugelassenen Tabellen enthalten ist...

Also folge ich deinen Transformationsformeln ergibt sich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{jw} - \frac{2}{1+jw} \end{eqnarray*}$ ==> $\begin{eqnarray*} 2 * u(t) - 1 - 2 * e^{-t} * u(t) \end{eqnarray*}$

und für:

$\begin{eqnarray*} 4 * \pi^{2} * Dirac(w) \end{eqnarray*}$ ==> $\begin{eqnarray*} 2 * \pi \end{eqnarray*}$

Zusammen: $\begin{eqnarray*} = 2 * \pi + 2 * u(t) - 1 - 2 * e^{-t} * u(t) \end{eqnarray*}$

So, jetzt muss ich noch einmal ableiten (d/dt):

$\begin{eqnarray*} = 2 * Dirac(t) + 2 * e^{-t} * u(t) - 2 * e^{-t} * Dirac(t) \end{eqnarray*}$

So, das wäre jetzt das geforderte Ergebnis für y(t), stimmt das so? smile

24.08.2015, 08:08

Huggy

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Das ist richtig.

Kurze Frage: Ich nehme an, du kommst aus der Elektrotechnik. Benutzt man dort nicht die Kurzbezeichnungen $\begin{eqnarray*} \delta (t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Theta (t) \end{eqnarray*}$ für die Diracsche Deltafunktion (Mathematikpuristen: lies Deltadistribution) und die Heavisidesche Thetafunktion?

24.08.2015, 13:12

Mathe_Board

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Ok, vielen dank für deine Hilfe! Big Laugh

War ja doch nicht soooo übertrieben schwer wie zunächst angenommen smile

Danke dir vielmals! smile

Ja ich komme aus der Elektrotechnik und deine Annahme bezüglich Diracsche Deltafunktion und Heaviside sind korrekt.

Danke, Danke! smile

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