Quadrieren einer Ableitung

23.08.2015, 09:41

Chris00

Quadrieren einer Ableitung

Hallo,

ich bin etwas verunsichert und würde mich freuen, wenn mir das jemand bestätigt:

Stimmt folgende Gleichung? i ist hier die Komplexe Zahl. Mir geht es darum, was passiert, wenn man eine Ableitung quadriert?

$\begin{eqnarray*} \left( -ia \frac{\partial}{\partial x} \right)^2 exp(3x^2) = a^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} exp(3x^2) \end{eqnarray*}$

Schöne Grüße

Korrektur falls mal jemand danach sucht:

Habe das MINUS vergessen. (-j)^2 = -1 daher:
$\begin{eqnarray*} \left( -ia \frac{\partial}{\partial x} \right)^2 exp(3x^2) = -a^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} exp(3x^2) \end{eqnarray*}$

23.08.2015, 10:24

mYthos

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RE: Quadrieren einer Ableitung
Es stimmt (formal) schon die Anfangsgleichung nicht.
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} \end{eqnarray*}$ ist ein Differentialoperator und verlangt dahinter die Funktion, welche zu differenzieren ist.
Also z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} e^{3x^2} \end{eqnarray*}$

Bei nochmaliger Ableitung (2. Ableitung) lautet dann der Operator $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \end{eqnarray*}$ , aber wiederum mit dem Funktionsterm dahinter: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} e^{3x^2} \end{eqnarray*}$
Gelesen wir das als 'd2 nach dx Quadrat' von $\begin{eqnarray*} e^{3x^2} \end{eqnarray*}$

Wenn tatsächlich nur die Ableitung zu quadrieren ist, wird $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\partial}{\partial x} e^{3x^2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ geschrieben.

mY+

23.08.2015, 10:32

IfindU

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RE: Quadrieren einer Ableitung
@mYthos

Die Schreibweise wird wirklich gerne mal verwendet. Mit dem Quadrat meint man dann nicht das quadrieren, sondern sozusagen die hintereinanderausführung. Das häufigste wo man es sieht wird wohl der Bilaplace sein -- dort schreibt man auch $\begin{eqnarray*} \Delta^2 f \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \Delta \Delta f \end{eqnarray*}$ .

Hier ist also $\begin{eqnarray*} \left ( i a \frac { \partial} {\partial x } \right)^2 f = \left ( i a \frac { \partial} {\partial x } \right) \Big[ \left ( i a \frac { \partial} {\partial x } \right) f\Big] \end{eqnarray*}$ , was das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} -a^2 \frac { \partial^2} {\partial x^2} f \end{eqnarray*}$ .
Vorausgesetzt (!) das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ hängt nicht von x ab. In dem Fall ist beim "ausmultiplizieren" die Produktregel zu beachten.

23.08.2015, 10:45

mYthos

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Also ist es die 2. Ableitung und nicht das Quadrieren einer Ableitung, darauf wollte ich ja hinaus!
Übrigens stand in der Angabe ein Minus vor dem ia ...

mY+

23.08.2015, 16:16

Chris00

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Zitat:

Original von mYthosÜbrigens stand in der Angabe ein Minus vor dem ia ...

Danke für eure Antworten.

Ja das Minus habe ich vergessen, danke für den Hinweis.

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