Würfelschnitt mit einer Ebene

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Mathematrixxx Auf diesen Beitrag antworten »
Würfelschnitt mit einer Ebene
Meine Frage:
Hallo,

Eine Frage beschäftigt mich seit einiger Zeit. Beim Schnitt von einem Würfel mit einer Ebene können kein rechtwinkliges Dreieck, kein Drachenviereck (weder Raute, noch Quadrat) und kein regelmäßiges Fünfeck entstehen. Wie kann man das logisch und korrekt begründen (möglichst ohne aufwendige Rechnung)?


Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Meine Ideen:
Beim rechtwinkligen Dreieck hatte ich folgende Begründungsidee:
Ein rechter Winkel kann in einer Schnittfigur, die aus dem Schnitt zwischen einer Ebene und einem Würfel hervorgeht, nur zu Vielecken mit mehr als drei Ecken führen. Dies liegt daran, dass ein Dreieck durch den Schnitt der Ebene mit drei Kanten entsteht. Soll die Ebene nur drei Kanten schneiden, so entstehen nur spitze Winkel, so dass ein rechtwinkliges Dreieck nicht erzeugt werden kann.

Ist das eine mathematisch korrekte Lösung?

Für Drachenviereck und regelmäßiges Fünfeck habe ich keine Erklärung unglücklich
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Zitat:
Original von Mathematrixxx
Soll die Ebene nur drei Kanten schneiden, so entstehen nur spitze Winkel, so dass ein rechtwinkliges Dreieck nicht erzeugt werden kann.

Das ist keine Begründung, sondern nur eine Behauptung. Weshalb entstehen nur spitze Winkel?

Eine Begründung könnte so aussehen: Man kann den Würfel und den Schnitt o.B.d.A. so legen, dass die Ecken des Dreiecks die Koordinaten haben mit . Die Richungsvektoren von einer Ecke des Dreiecks zu einer anderen sind dann: . Wenn ein rechter Winkel vorhanden ist, muss das Skalarprodukt der ihn bildenden Richtungsvektoren Null ergeben. Man sieht aber sofort, dass keines der Skalarprodukte zwischen zweien dieser Richtungsvektoren Null ergibt.

Wenn der Schnitt ein Viereck ergibt, schneidet die Schnittebene 4 jeweils paarweise parallele Würfelseiten. Dann sind aber auch die Schnittkanten paarweise parallel. Viereckige Schnitfiguren sind daher immer Parallelogramme.

Wenn der Schnitt ein Fünfeck ergibt, werden 5 Würfelseiten geschnitten, von denen wieder 4 paarweise parallel sind. Also sind von den 5 Seiten des Fünfecks 4 paarweise parallel. Ein regelmäßiges Fünfeck hat aber keine parallelen Seiten. Deshalb kann der Schnitt kein regelmäßiges Fünfeck ergeben.
Mathematrixxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Vielen lieben Dank für die Antwort! Sie hat mir schon sehr weitergeholfen. Einzig das mit dem rechten Winkel hab ich noch nicht ganz verstanden. Gibt es da auch eine logische Erklärung ohne den Beweis mit dem Skalarprodukt?
Mathematrixxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
und noch was:

Kann ein Viereck wirklich nur durch den Schnitt von vier parallelen Seitenkanten entstehen? Denn in folgender Konstruktion ist das glaub ich nicht so oder?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Möglich, ja wahrscheinlich, dass man auch eine einwandfreie Begründung ohne Skalarprodukt finden kann. Ad hoc fällt mir aber keine ein. Und das Skalarprodukt lernt man doch in der Schule kennen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Zu deinem Bild: Auch bei diesem Schnitt schneidet die Schnittfläche die obere und die untere Würfelseite, welche parallel sind, und sie schneidet die vordere und die hintere Würfelseite, welche auch parallel sind.
 
 
Mathematrixxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Aber du hattest doch gefordert, dass dann auch die Schnittkanten parallel sind. In meinem Bild gibt es aber im Grunde doch nur zwei Schnittkanten, nämlich die 'links oben' und die ' rechts unten', die beiden anderen sind nur SchnittFLÄCHEN oder seh ich das falsch?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Schnittkanten sind etwas anderes als Würfelkanten, obwohl in Ausnahmefällen eine Schnittkante mit einer Würfelkante zusammenfallen kann. Die Schnittebene in deinem Bild schneidet die vordere und die hintere Würfelseite in den zwei Geradenstücken, die schräg von oben nach unten verlaufen. Diese Geradenstücke sind die Schnittkanten mit der vorderen und hinteren Würfelseite. Es sind keine Ebenen. Und die beiden Geradenstücke sind offensichtlich parallel.
Mathematrixxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Ich glaube ich habe ein Gegenbeispiel gefunden, wann eine viereckige Schnittfigur kein Parallelogramm ist:
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Oh ja, du hast Recht. Freude

Es müssen bei einem Viereck nur mindestens zwei parallele Würfelseiten geschnitten werden. Die beiden anderen Würfelseiten können auch senkrecht aufeinander stehen. Neben Parallelogrammen sind daher auch Trapeze möglich. An dem Beweis zur Unmöglichkeit des regelmäßigen Fünfecks ändert das nichts.
Mathematrixxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Aber die Erkenntnis, dass auch Trapeze entstehen können, bewirkt nun, dass der Beweis, dass kein 'echtes' Drachenviereck entsteht, nicht mehr stimmt oder?
Denn dafür war ja die Grundlage, dass alle Seiten des Schnitts paarweise parallel sein müssen.
Kann ich das trotzdem noch so in der Art beweisen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Das passt trotzdem. Es müssen ja immer noch 2 gegenüberliegende Seiten parallel sein. Dann sind aber bei einem Drachenviereck zwangsläufig auch die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten parallel und man hat wieder ein Parallelogramm.
Mathematrixxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Ich stehe irgendwie jetzt auf dem Schlauch. Könntest du evtl nochmal den Beweis (Schnitt kann kein echtes Drachenviereck ergeben) aktualisiert formulieren?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Wir sind uns doch darüber einig, dass der Schnitt des Würfels mit einer Ebene, wenn er zu einem Viereck führt, mindestens ein Paar paralleler Seiten in dem Viereck ergibt. (Ursprünglich hatte ich gedacht, es gäbe dann immer 2 Paare paralleler Seiten, was du aber widerlegt hast.)

Nun mal dir ein Drachenviereck auf. Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht, Benachbarte Seiten sind gleich lang. Es wird durch die Diagonalen in 4 rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Nun nimm zusätzlich an, dass 2 gegenüberliegende Seiten parallel sind. Dann kannst du sehen und leicht beweisen, dass die 4 rechtwinkligen Dreiecke alle kongruent sind. Es sind dann auch die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten parallel und alle 4 Seiten gleich lang. Es ist also kein echtes Drachenviereck, wenn man darunter ein Drachenviereck versteht, bei dem nicht alle Seiten gleich lang sind.
Mathematrixxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Ok das verstehe ich soweit, allerdings müsste man noch begründen, warum für ein Viereck als Schnittfigur zwei Seiten parallel sein müssen. Es ist zwar irgendwie offensichtlich so, aber ich weiss keine Begründung.


"Dann kannst du sehen und leicht beweisen, dass die 4 rechtwinkligen Dreiecke alle kongruent sind"
Dass die vier rechtwinkligen Dreiecke dann kongruent sein müssen, liegt doch daran, dass benachbarte Seiten gleich lang sein müssen und zwei gegenüberliegende Seiten parallel verlaufen, oder? reicht das als Begründung?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Zitat:
Original von Mathematrixxx
Ok das verstehe ich soweit, allerdings müsste man noch begründen, warum für ein Viereck als Schnittfigur zwei Seiten parallel sein müssen. Es ist zwar irgendwie offensichtlich so, aber ich weiss keine Begründung.

Weil die Schnittebene dann mindestens ein Paar paralleler Seiten des Würfels schneidet. Dabei habe ich als bekannt vorausgesetzt: Wenn eine Ebene 2 parallele Ebenen schneidet, dann sind die Schnittgeraden parallel. Ich denke nicht, das du das auch noch beweisen musst.

Zitat:
Dass die vier rechtwinkligen Dreiecke dann kongruent sein müssen, liegt doch daran, dass benachbarte Seiten gleich lang sein müssen und zwei gegenüberliegende Seiten parallel verlaufen, oder? reicht das als Begründung?

Das wäre mir zu dünn. Mach eine Zeichnung. Nimm an, dass 2 gegenüberliegende Seiten parallel sind. Dann folgt mit dem Satz über Wechselwinkel, dass die zu diesen beiden Seiten gehörenden und sich diagonal gegenüberliegenden rechtwinkligen Dreiecke in einem der nicht rechten Winkel übereinstimmen. In dem rechten Winkel stimmen sie eh überein. Und weil die Diagonalen sich halbieren, stimmen sie auch noch in einer Seite überein. Also sind sie kongruent. Aufgrund der Symmetrie des Drachenvierecks ist das jeweils benachbarte rechtwinklige Dreieck auch kongruent. Also sind alle 4 rechtwinkligen Dreiecke kongruent.
Mathematrixxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Hm, ich sehe da die Begründung noch nicht richtig, warum für ein Viereck als Schnittfigur zwei parallele Seiten des Würfels geschnitten werden müssen? Warum kann kein Viereck entstehen, ohne dass zwei parallele Würfelseiten geschnitten werden?
Entschuldige für die Nachfragen, ich steh wohl auf der Leitung -.-
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Nur mal so zur Info:

Dort wird seit gestern auch schon diskutiert. Dass du nun heute hier den gleichen Thread noch mal eröffnest ist nicht sehr höflich...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelschnitt mit einer Ebene
Keine Ursache sich zu entschuldigen. Einerseits ist das anschaulich klar. Andererseits ist die Anschaung kein Beweis und im 3-dimensionalen vertut man sich auch leicht mit der Anschauung.

Betrachten wir einen Schnitt, der durch eine Würfelseite geht. Nun drehen wir den Würfel so, dass dies die Vorderseite ist. Geht der Schnitt durch die untere Kante und durch die obere Kante der Vorderseite, so geht er durch die Unterseite und durch die Oberseite des Würfels, also durch 2 parallele Seiten. Analoges gilt, wenn er durch die linke und durch die rechte Kante der Vorderseite geht. Die beiden Fälle wollen wir daher ausschließen.

Dann geht der Schnitt durch 2 benachbarte Kanten der Vorderseite. Wir drehen den Würfel so, dass dies die obere und die rechte Kante der Vorderseite sind. Der Schnitt geht also durch die Vorderseite, die Oberseite und die rechte Seite des Würfels. Von diesen 3 Seiten sind keine 2 parallel.

Wie kann er auf der rechten Seite verlaufen. Er könnte von der Vorderkante der rechten Seite (= rechte Kante der Vorderseite) zur oberen Kante der rechte Seite gehen. Dann ist die Schnittfläche aber ein Dreieck. Das geht also nicht, wenn wir ein Viereck wollen. Er könnte zur hinteren Kante der rechten Seite verlaufen. Dann geht er durch die Rückseite. Und da er schon durch die Vorderseite geht, geht er wieder durch 2 parallele Seiten. Es bleibt also nur die untere Kante der rechten Seite als letzte Möglichkeit. Dann geht der Schnitt durch die Unterseite des Würfels. Da er aber schon durch die Oberseite geht, haben wir wieder 2 parallele Seiten, die geschnitten werden.
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