Integral, dx/(x^\alpha sinh(x))

23.08.2015, 21:24

StrunzMagi

Integral, dx/(x^\alpha sinh(x))

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{dx}{x^\alpha sinh(x)} \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha <0 \end{eqnarray*}$ ist.

Hallo,
Ich bin mir unsicher ob alles so erlaubt ist wie ich es rechne:

Für $\begin{eqnarray*} \alpha <0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1]: \frac{1}{x^\alpha sinh(x)} < \frac{1}{x^{\alpha +1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha+1}} \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} \alpha +1 < 1 \Rightarrow \alpha < 0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x \in [1, \infty) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^\alpha sinh(x)}= \frac{2}{x^\alpha (e^x - e^{-x})}<\frac{2}{x^\alpha (e^x - e^{-1})}= \frac{2}{x^\alpha e^x (1- e^{-x-1})} \le \frac{2}{C x^{\alpha + |\alpha| +2}(1- e^{-x-1})} \le \frac{2}{C x^{\alpha + |\alpha| +2}(1- e^{-2})} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{1}{ x^{\alpha + |\alpha| +2}}dx= \int_1^\infty \frac{1}{ x^2} \end{eqnarray*}$ konvergente Majorante
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{dx}{x^\alpha sinh(x)} \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} \alpha < 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^\alpha sinh(x)} > \frac{1}{sinh(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{dx}{sinh(x)} = \int_0^1 \frac{sinh(x)}{sinh^2(x)}dx = \int_0^1 \frac{sinh(x)}{cosh^2(x)-1} dx = \int_{cosh(0)}^{cosh(1)} \frac{1}{u^2-1} du = \frac{1}{2}\int_{cosh(0)}^{cosh(1)} \frac{1}{u-1} du - \frac{1}{2}\int_{cosh(0)}^{cosh(1)} \frac{1}{u+1} du= \frac{1}{2} ln(\frac{cosh(x)-1}{cosh(x)+1}) |_{0}^1 \end{eqnarray*}$
existiert nicht da $\begin{eqnarray*} ln(\lim_{t\rightarrow 0} t) \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist.
Daraus folgt das gesamte Integral existiert nicht für $\begin{eqnarray*} \alpha >0 \end{eqnarray*}$ .

24.08.2015, 09:31

HAL 9000

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Ja, dürfte so stimmen. Freude

Generell was das Verhalten bei 0 betrifft: Diese (und eine ganze Reihe anderer Aufgaben, die du in letzter Zeit da mit sinh gepostet hast) lassen sich doch immer wieder mit dem Sandwich

$\begin{align*} x\leq \sinh(x) \leq C_1x \end{align*}$ für alle $\begin{align*} 0\leq x\leq x_0 \end{align*}$

mit einem geeignet gewählten $\begin{align*} C_1>0 \end{align*}$ erledigen. Dabei kann man aufgrund der Konvexität von $\begin{align*} \sinh \end{align*}$ z.B. $\begin{align*} C_1:=\frac{\sinh(x_0)}{x_0} \end{align*}$ wählen. Mit diesem Sandwich wird die Existenz des "Anfangsstückes" im wesentlich auf die von $\begin{align*} \int\limits_0^{x_0} \frac{1}{x^{\beta}} ~ \dd x \end{align*}$ mit irgendeinem $\begin{align*} \beta \end{align*}$ zurückgeführt.

Genauso dann das Verhalten im Unendlichen: Da hilft dann das Sandwich

$\begin{align*} C_2e^x \leq \sinh(x) < \frac{1}{2} e^x \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\geq x_0 \end{align*}$

mit $\begin{align*} C_2 := \sinh(x_0)\cdot e^{-x_0} \end{align*}$ .

24.08.2015, 16:53

StrunzMagi

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Hallo,
Danke für deine Antwort.
Ich verstehe nicht wie man auf die Ungleichung: $\begin{eqnarray*} \sinh(x) \le C_1 x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\le x \le x_0 \end{eqnarray*}$ kommt. Was hat die Konvexität damit zu tun?
Könnte man nicht z.B folgern aus $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinh(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin(ix)}{ix}=1 \end{eqnarray*}$ , dass für kleine x gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{sinh(x)}{x}<2 \end{eqnarray*}$

LG,
MaGi

24.08.2015, 17:02

HAL 9000

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Mal ein Bild für z.B. $\begin{align*} x_0=2 \end{align*}$ :

Konvexität von $\begin{align*} f \end{align*}$ heißt u.a.

$\begin{align*} f(\lambda x_1+ (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} 0\leq\lambda\leq 1 \end{align*}$ und beliebige $\begin{align*} x_1,x_2 \end{align*}$ .

Speziell für $\begin{align*} f(x)=\sinh(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} x_1=x_0,x_2=0 \end{align*}$ heißt das wegen $\begin{align*} f(0)=0 \end{align*}$ :

$\begin{align*} f(\lambda x_0) \leq \lambda f(x_0) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} 0\leq\lambda\leq 1 \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} 0\leq x\leq x_0 \end{align*}$ wählen wir nun $\begin{align*} \lambda:=\frac{x}{x_0} \end{align*}$ und bekommen $\begin{align*} f(x) \leq \frac{x}{x_0} f(x_0) \end{align*}$ .

Zitat:

Original von StrunzMagi
Könnte man nicht z.B folgern aus $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinh(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin(ix)}{ix}=1 \end{eqnarray*}$ , dass für kleine x gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{sinh(x)}{x}<2 \end{eqnarray*}$

Ja, geht auch. Der Vorteil der obigen Konvex-Argumentation ist, dass man konkret benennen kann, wie weit sowas noch gilt statt nur diese "für kleine x". Man steckt mehr Info rein, und bekommt mehr Ergebnis. Augenzwinkern

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