Erwartungswert, Varianz, Covarianz

24.08.2015, 10:24	Jane23	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert, Varianz, Covarianz Meine Frage: Guten Morgen, ich brauche dringend hilfe bei folgender Aufgabe: Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsvariablen X,Y. Es gelte E(X) = 4, Var(X) = 4, E(Y) = 8 und Var(Y) = 9. zu Bestimmen: (a) $\begin{eqnarray} \mathbb E(X^{2}) \end{eqnarray}$ , (b) $\begin{eqnarray} \mathbb E(4X +Y^{2} - 1) \end{eqnarray}$ , (c) $\begin{eqnarray} \mathbb E(X(Y +1)) \end{eqnarray}$ , (d) $\begin{eqnarray} Var(2X - 3Y +2) \end{eqnarray}$ , (e) $\begin{eqnarray} Cov(X - 2Y,2X +3Y) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mit den Vorgaben, die ich habe, fehlt mir leider komplett die Idee, wie ich diese Aufgabe lösen kann
24.08.2015, 10:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt allgemein: $\begin{align} \operatorname{Var}(X) = \mathcal{E} \left( X^2 \right) - \left( \mathcal{E}(X) \right)^2 \end{align}$ Wenn man in dieser Gleichung zwei der drei Größen kennt, kann man die dritte ausrechnen. Beachte ferner die Linearität: Wenn $\begin{align} X,Y,Z,\ldots \end{align}$ Zufallsgrößen und $\begin{align} \lambda,\mu,\nu,\ldots \end{align}$ reelle Zahlen sind, gilt: $\begin{align} \mathcal{E} \left( \lambda X + \mu Y + \nu Z + \ldots \right) = \lambda \cdot \mathcal{E}(X) + \mu \cdot \mathcal{E}(Y) + \nu \cdot \mathcal{E}(Z) + \ldots \end{align}$ Und schließlich noch die folgende Gleichung, die allerdings nur im Falle der Unabhängigkeit von $\begin{align} X,Y \end{align}$ gilt (die hier aber vorgegeben ist): $\begin{align} \mathcal{E} \left( XY \right) = \mathcal{E}(X) \cdot \mathcal{E}(Y) \end{align}$ Jetzt solltest du a),b),c) lösen können.
24.08.2015, 10:56	Jane23	Auf diesen Beitrag antworten »
damit komme ich auf (a) 12 (b) 16+73-1 =90 (c) 4(8+1) = 36 stimmt das so weit? für (d) habe ich mir folgendes überlegt: $\begin{eqnarray} Var ( 2X-3Y+2) = \mathbb E ((2X-3Y+2)^{2})+ (\mathbb E(2X-3Y+2))^{2}<br /> = \mathbb E (2X^{2}) - \mathbb E (3Y^{2}) + \mathbb E (2^{2}) + (\mathbb E ( 8-24+2) )^{2} <br /> = 2 \mathbb E (X^{2} - 3 \mathbb E (Y^{2}) + (-14)^2<br /> = 24 - 219 + 196<br /> = 1 \end{eqnarray}$ ist das so richtig? ich bin mir nicht sicher, was mit der "2" aus dem ersten Erwartungswert passiert. Ist es richtig, dass sie wegfällt, da ich die 2 ja vor den Erwartungswert ziehen dürfte und dann aber quasi von "nichts" mehr der Erwartungswert gesucht wird?
24.08.2015, 11:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei a) hast du dich verrechnet, vermutlich irgendwo plus und minus vertauscht. Bei b) stimmt die linke Seite. Und c) ist richtig, während du bei d) völlig auf dem Holzweg bist. Schau dir in deinen Unterlagen die Rechenregeln für die Varianz noch einmal an.
24.08.2015, 11:59	Jane23	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, doofe Rechenfehler behoben ... Ist mein Ansatz bei (d) schon falsch, also die erste Zeile? Mir ist gerade aufgefallen, dass ich mich auch dabei mehrfach verrechnet habe. Wenn allerdings schon der Ansatz falsch ist, brauche ich damit ja gar nicht weiter arbeiten....
24.08.2015, 12:02	Jane23	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgesehen davon, dass das + ein - sein muss.
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