Grenzwert x ->x_0

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24.08.2015, 13:34	lule	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert x ->x_0 Meine Frage: Halloo, es soll eigentlich nur der Grenzwert x -> x0 gebildet werden. Aber ich komme bei den beiden folgenden Aufgaben auf keine hilfreiche Umfromung. a) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} (\frac{1}{2-x}-\frac{11}{8-x^3}), x_0 = 2 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^2-7x+10}, x_0 = 2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ein kleiner Tipp bei beiden Aufgaben wäre nett
24.08.2015, 13:40	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du bei b) mal die Nullstellen von Zähler und Nenner berechnet, um zu faktorisieren? edit: Bei a) wäre es interessant zu wissen, von welcher Seite wir uns nun der 2 annähern sollen.
24.08.2015, 13:57	lule	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei b) hatte ich das vorher schon ausprobiert nur mich natürlich verrechnet .... Also b) ist mit 1/3 gelöst. So nun zu a), ich habe auch nicht mehr Informationen als hier steht. Die Aufgabe auf meinem Zettel lautet nur " Berechnen Sie jeweils den Grenzwert, falls dieser existiert."
24.08.2015, 14:05	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sollst du wohl beide Fälle betrachten. Ich würde vorschlagen du bringst die Brüche mal auf den Hauptnenner und fasst im Zähler zusammen. Anschließend könntest du dann mal überprüfen, ob die Voraussetzungen für L`Hospital erfüllt sind (das wäre übrigens alternativ auch bei b) gegangen).
24.08.2015, 14:54	lule	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mich gerade mal schlau gemacht und beide Fälle müssen wir nur betrachten falls es explizit gewünscht ist. Und da wir el`Krankenhaus in der Klausur leider nicht nutzen dürfen habe ich es jetzt mal so gemacht. $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-2} - \frac{11}{8-x^3} = \frac{1}{x-2} - \frac{11}{(2+x)^2(2-x)} = \frac{(2+x)^2 + 11}{(x-2) (2+x)^2} = \frac{1}{x-2} \frac{x^2+4x-7}{x^2+4x+4} \end{eqnarray}$ Daraus folgt : $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2}( \frac{1}{x-2} * \frac{x^2+4x-7}{x^2+4x+4}) \end{eqnarray}$ Der zweite Faktor geht nun gegen $\begin{eqnarray} \frac{5}{16} \end{eqnarray*}$ während der erste Faktor divergiert und damit auch der gesamte Grenzwert divergiert. Müsste doch eigentlich in Ordung sein so.
24.08.2015, 14:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} 8-x^3 \end{align}$ ist falsch faktorisiert: Das ist nicht $\begin{align} (2+x)^2(2-x) \end{align}$ , sondern $\begin{align} 8-x^3 = (2-x)(4+2x+x^2) \end{align}$ .
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24.08.2015, 15:11	lule	Auf diesen Beitrag antworten »
oh nein... Da hab ich mich ja gründlich verrechnet. Okay hier die korrigierte Lösung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-2} - \frac{11}{8-x^3} = \frac{1}{x-2} - \frac{11}{(x^2+2x+4)(2-x)} = \frac{x^2+2x+4 - 11}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{1}{x-2} \frac{x^2+2x-7}{x^2+2x+4} \end{eqnarray}$ Daraus folgt : $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2}( \frac{1}{x-2} * \frac{x^2+2x-7}{x^2+2x+4}) \end{eqnarray}$ Der 1. Faktor divergiert weiterhin, der 2.Faktor geht gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ Damit ist nun aber der Grenzwert divergent.
24.08.2015, 15:13	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap - das ist denn wohl so. edit: Vorzeichenfehler sollten aber noch verbessert werden: siehe Beitrag von HAL
24.08.2015, 15:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, warum du aus dem ersten Summanden $\begin{align} \frac{1}{2-x} \end{align}$ ein $\begin{align} \frac{1}{x-2} \end{align}$ machst, ohne (wie dann notwendig) das Vorzeichen des Gesamtterms anzupassen. Im weiteren Verlauf beim Heben auf den gemeinsamen Bruchstrich machst du dann einen weiteren Vorzeichenfehler beim zweiten Term, so dass nunmehr die Gesamtdifferenz "synchron" das falsche Vorzeichen hat... Ändert letztlich nichts an der Tatsache der Divergenz, muss aber trotzdem nicht so falsch stehen bleiben.
24.08.2015, 16:01	lule	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie stehe ich gerade etwas neben mir... Also nochmal: Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2}[ \frac{1}{2-x}-\frac{11}{8-x^3}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{x \to 2}[ \frac{x^2+2x+4}{(2-x)(x^2+2x+4)}-\frac{11}{(2-x)(x^2+2x+4)}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{x \to 2}[ \frac{x^2+2x-7}{(2-x)(x^2+2x+4)}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{x \to 2}[\frac{1}{(2-x)} \frac{x^2+2x-7}{(x^2+2x+4)}] \end{eqnarray}$ So 1. Faktor divergiert, 2.Faktor geht gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ , damit ist der Ausdruck divergent. So ich hoffe, dass ich jetzt eine endgültige Lösung habe ohne Verdreher und Vorzeichenfehler
24.08.2015, 16:04	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja - nun stimmt es.
24.08.2015, 16:08	lule	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, sehr schön. Dann danke für die Hilfe und sry nochmal für das ganze Durcheinander

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