Länge einer Kurve berechnen

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Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »
Länge einer Kurve berechnen
Hallo, hab ne Aufgabe ohne Lösungsweg bzw. Ergebnis und wollte meine Rechnung schnell überprüfen lassen! smile

Ich soll die Länge der Kurve



mit



berechnen. Hierzu bin ich wie folgt vorgegangen:

Ableitungen der x- und y-Komponenten gebildet:




Die Länge der Kurve ist:







Stammfunktion:



Ausrechnen:






Ich hoffe, ich habe alles richtig gemacht smile Danke für eure Mühe!
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Wie kommst du denn auf diese Ableitung? verwirrt

Zitat:




Es ist sicherlich:



geschockt

Zur Überprüfung kannst du ja mal a=3 und b=4 einsetzen.
 
 
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, bei der Ableitung war ich mir auch unsicher. Ich hab die Produktregel und die Kettenregel nicht angewandt Moment...

Die Ableitung von






So richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung
Was die vermeintliche Ableitung betrifft, da müssen doch sämtliche Alarmglocken schrillen:

Ein Polynom ergibt abgeleitet wieder nur ein Polynom, und umgekehrt kann das Ableitungsergebnis Polynom auch nur von einem Polynom herrühren. Damit muss sofort, ohne die kleinste Rechnung klar sein, dass falsch ist.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Ja - dann vereinfachen.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was da noch zu vereinfachen geht... unglücklich
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Verlaub: Du wirst doch wohl wissen, wie man zwei Brüche addiert?!

Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr verunsichert mich halt immer so, weil ihr bei allen meinen Threads immer schreibt, als wäre ich die größte Lusche...

Ich versuche es erst mal alleine und poste dann meine Lösung
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Ihr verunsichert mich halt immer so

Falls das an meine Adresse geht: Ich will nicht verunsichern, sondern dafür werben, alternative Kontrollmöglichkeiten "ablaufen" zu lassen - die durchaus helfen können, die Fehlerrate zu reduzieren. Ich selbst verrechne mich durchaus auch immer mal, aber diverse solche und andere Kontrollmechanismen helfen, die Rate zu verringern, indem man bei derart unplausiblen Ergebnissen eben stutzt und nochmal zurückgeht.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also ich habe für die Ableitung als Endergebnis



raus. Dass der Rest von meiner Rechnung dann sowieso Quatsch war, ist mir bweusst. Meine Frage nur, war meine Herangehensweise an die Aufgabe richtig? Weil dann würde ich es gerne noch mal mit den richtigen Ableitungen versuchen und das Ergebnis ausrechnen. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Meine Frage nur, war meine Herangehensweise an die Aufgabe richtig?

Es ist schwierig den Ansatz zu bestätigen, wenn er nicht da steht, sondern gleich (mit falschen Resultaten) in die Rechnung eingestiegen wird. Wenn du angefangen hättest mit



dann hätte man zumindest noch diese Zeile bestätigen können.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist:




Damit kannst du es nun noch mal versuchen. Freude
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL,

Ich habe die Formel benutzt, die du gerade geschrieben hast, also war mein Ansatz wohl richtig. Ich bin mal gespannt, ob ich mit dem Rest der Aufgabe klar komme.

Ich setz mich mal dran und poste demnächst.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Erweiterung habe ich genau so gemacht, hatte nur einen Vorzeichenfehler, da ich das Minus vor dem Bruch dann einfach nicht mehr gesehen habe Hammer

Somit habe ich also t^2 "wegsubtrahiert", da bei mir dann stand:

t^2+1-t^2

(sorry für kein Latex auf die Schnelle)

Da liegt also mein Fehler.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Komme leider schon wieder nicht mehr weiter...

Ich hab versucht, den Term



so zu vereinfachen, dass ich leicht Integrieren kann später bzw. dass ich die Wurzel im Integral verschwinden lassen kann.

Da kommt (wenn ich es richtig machen sollte) raus.

Ich habe nun versucht, den Term durch Polynomdivision weiter zu vereinfachen, was mir liefert.


Das hilft mir aber irgendwie auch nicht, das Integral leichter zu gestalten LOL Hammer
Kann mir jemand einen ganz kleinen Hinweis geben, wie ich den Term von oben so umschreibe, dass die Wurzel im Integral dann verschwindet? Oder geht das hier gar nicht?
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Vergesst es, hab gerade bemerkt, dass ich (2t)^2 schreiben sollte und nicht 2t^2, deswegen ist das wieder falsch, ich setz mich wieder dran Hammer
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Du meinst wohl den Term:



Also noch mal von vorne.

edit: Selbst gemerkt. Freude

edit2:
Zitat:
Da kommt (wenn ich es richtig machen sollte) raus.


Das wäre aber auch verkehrt gewesen. Genauso wie dieses hier:

Zitat:
ich habe nun versucht, den Term durch Polynomdivision weiter zu vereinfachen, was mir liefert.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe bisher:





Dann habe ich versucht, mit Erweiterung durch den Wurzelterm im Nenner das Ganze irgendwie so zu gestalten, dass das Integral einfach wird. Das hat aber nicht so ganz geklappt, es wurde eher noch komplizierter.

Ich frage mich nun, ob es überhaupt möglich ist, den Term so zu vereinfachen, dass das Integral für die Länge der Kurve am Ende "einfach" ist. Ich glaube aber fest daran, dass es einen Trick gibt, wie man den Term so vereinfacht, dass man beim Integrieren nicht mehr viel machen muss! Prost

Ich wäre über einen Tipp sehr dankbar
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

ICH GLAUB ICH HABS!!!

Also, mir ist aufgefallen, dass im Nenner generell wohl doch rauskommen sollte...

Wenn ich dann eine Polynomdivision durchführe, erhalte ich:



und



zu integrieren wäre sehr geil! Kann das stimmen?
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok abgesehen davon, dass ich mich wieder vertippt und X anstatt T geschrieben habe...
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also, mir ist aufgefallen, dass im Nenner generell wohl doch rauskommen sollte...


Ist es so verwunderlich, wenn du eine Wurzel quadrierst, dass der Radikand das Ergebnis ist?

Es ist somit:



Eine Polynomdivision benötigt man hier nicht. Es ist also folgendes Integral zu berechnen:

Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir, ich gehe meist viel zu kompliziert an die Dinge ran

Freuen tut mich allerdings, dass ich es doch irgendwo richtig gemacht habe smile
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Freuen tut mich allerdings, dass ich es doch irgendwo richtig gemacht habe


Mich auch. Augenzwinkern

Beachte aber, dass nicht der Bruch, sondern die Wurzel aus dem Bruch zu integrieren ist. Viel Spaß dabei.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Stmmafunktion von dem Integral ist



Damit ergibt sich dann:








smile
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also die Stmmafunktion von dem Integral ist



Damit ergibt sich dann:



Ja. Freude

Zitat:




Nein. unglücklich
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt für den Arcsin dann wohl eine andere Wertetabelle? Bisher wusste ich nichts von deren Existenz, deswegen habe ich das mal für mich plausibel umgeformt.

Kannst du mir falls das möglich ist kurz erklären, warum ich das so nicht machen darf?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wertetabelle? Darfst du keinen TR benutzen? Dann musst du diese Zeile doch nur eintippen:

Zitat:


Wie du danach umgeformt hast verstehe ich nicht und es ist einfach sinnfrei.

Wenn du den TR nicht benutzen darfst, dann musst du eben die Werte im Kopf haben. Der Sinus nimmt bei 45° den Wert an, im Bogenmaß also . Es ergibt sich somit:



Den Rest überlasse ich dir.

Wink
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich dachte halt, der bzw. "Sinus hoch minus eins" und deswegen müsse ich das so umformen!

War wohl nix.

Das Endergebnis ist

Danke, ohne eure Hilfe wäre das mal wieder nicht möglich gewesen. Fest steht trotzdem, dass ich mega Angst vor der Klausur habe unglücklich
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Naja, ich dachte halt, der bzw. "Sinus hoch minus eins" und deswegen müsse ich das so umformen!


Ahh - daher weht also der Wind, ist nur eine andere Schreibweise für . Dieses bedeutet jedoch nicht, dass du den Kehrwert vom Sinuswert nehmen sollst, das wäre .

Dein Ergebnis ist natürlich richtig.

Gern geschehen.
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