Länge einer Kurve berechnen

24.08.2015, 16:18

Seppelkoi

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Länge einer Kurve berechnen

Hallo, hab ne Aufgabe ohne Lösungsweg bzw. Ergebnis und wollte meine Rechnung schnell überprüfen lassen! smile

smile

Ich soll die Länge der Kurve

$\begin{eqnarray*} \gamma :[-\frac{1}{\sqrt{2} } , \frac{1}{\sqrt{2} }] \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \gamma(t) :[t^{2} , t\sqrt{1-t^{2} } ] \end{eqnarray*}$

berechnen. Hierzu bin ich wie folgt vorgegangen:

Ableitungen der x- und y-Komponenten gebildet:

$\begin{eqnarray*} x: 2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y: -2t+1 \end{eqnarray*}$

Die Länge der Kurve ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac{1}{\sqrt{2} } }^{\frac{1}{\sqrt{2} } } \! \sqrt{(2t)^{2}+(-2t+1)^{2}} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_{-\frac{1}{\sqrt{2} } }^{\frac{1}{\sqrt{2} } } \! 2t-2t+1 \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_{-\frac{1}{\sqrt{2} } }^{\frac{1}{\sqrt{2} } } \! 1 \, dt \end{eqnarray*}$

Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} F: t+c \end{eqnarray*}$

Ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{\sqrt{2} }]-[-\frac{1}{\sqrt{2} }] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, ich habe alles richtig gemacht smile

smile

Danke für eure Mühe!

24.08.2015, 16:34

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} y: -2t+1 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn auf diese Ableitung? verwirrt

verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac{1}{\sqrt{2} } }^{\frac{1}{\sqrt{2} } } \! \sqrt{(2t)^{2}+(-2t+1)^{2}} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_{-\frac{1}{\sqrt{2} } }^{\frac{1}{\sqrt{2} } } \! 2t-2t+1 \, dt \end{eqnarray*}$

Es ist sicherlich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} \neq \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=a+b \end{eqnarray*}$

geschockt

geschockt

Zur Überprüfung kannst du ja mal a=3 und b=4 einsetzen.

24.08.2015, 16:44

Seppelkoi

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Ok, bei der Ableitung war ich mir auch unsicher. Ich hab die Produktregel und die Kettenregel nicht angewandt Moment...

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} t\sqrt{1-t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = t * (-\frac{t}{\sqrt{1-t^2} }) + 1 * \sqrt{1-t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2} } + \sqrt{1-t^2} \end{eqnarray*}$

So richtig?

24.08.2015, 16:44

HAL 9000

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Anmerkung
Was die vermeintliche Ableitung $\begin{align*} -2t+1 \end{align*}$ betrifft, da müssen doch sämtliche Alarmglocken schrillen:

Ein Polynom ergibt abgeleitet wieder nur ein Polynom, und umgekehrt kann das Ableitungsergebnis Polynom auch nur von einem Polynom herrühren. Damit muss sofort, ohne die kleinste Rechnung klar sein, dass $\begin{align*} (t\sqrt{1-t^2})' \stackrel{?}{=} -2t+1 \end{align*}$ falsch ist.

24.08.2015, 16:51

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} = -\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2} } + \sqrt{1-t^2} \end{eqnarray*}$

Ja - dann vereinfachen.

24.08.2015, 16:56

Seppelkoi

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Ich weiß nicht, was da noch zu vereinfachen geht... unglücklich

unglücklich

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24.08.2015, 16:59

Mathema

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Mit Verlaub: Du wirst doch wohl wissen, wie man zwei Brüche addiert?!

$\begin{eqnarray*} -\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2} } + \frac{\sqrt{1-t^2}}{1} \end{eqnarray*}$

24.08.2015, 17:03

Seppelkoi

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Ihr verunsichert mich halt immer so, weil ihr bei allen meinen Threads immer schreibt, als wäre ich die größte Lusche...

Ich versuche es erst mal alleine und poste dann meine Lösung

24.08.2015, 17:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Ihr verunsichert mich halt immer so

Falls das an meine Adresse geht: Ich will nicht verunsichern, sondern dafür werben, alternative Kontrollmöglichkeiten "ablaufen" zu lassen - die durchaus helfen können, die Fehlerrate zu reduzieren. Ich selbst verrechne mich durchaus auch immer mal, aber diverse solche und andere Kontrollmechanismen helfen, die Rate zu verringern, indem man bei derart unplausiblen Ergebnissen eben stutzt und nochmal zurückgeht.

24.08.2015, 17:20

Seppelkoi

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Ok, also ich habe für die Ableitung als Endergebnis

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{1-t^2} } \end{eqnarray*}$

raus. Dass der Rest von meiner Rechnung dann sowieso Quatsch war, ist mir bweusst. Meine Frage nur, war meine Herangehensweise an die Aufgabe richtig? Weil dann würde ich es gerne noch mal mit den richtigen Ableitungen versuchen und das Ergebnis ausrechnen. smile

smile

24.08.2015, 17:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Meine Frage nur, war meine Herangehensweise an die Aufgabe richtig?

Es ist schwierig den Ansatz zu bestätigen, wenn er nicht da steht, sondern gleich (mit falschen Resultaten) in die Rechnung eingestiegen wird. Wenn du angefangen hättest mit

$\begin{align*} L = \int\limits_{-\frac{1}{\sqrt{2} } }^{\frac{1}{\sqrt{2} } } \sqrt{(\gamma_x'(t))^2+(\gamma_y'(t))^2} ~ \dd t \end{align*}$

dann hätte man zumindest noch diese Zeile bestätigen können.

24.08.2015, 17:30

Mathema

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Es ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{-t^2}{\sqrt{1-t^2} } + \frac{\sqrt{1-t^2}}{1} =\frac{-t^2}{\sqrt{1-t^2}}+\frac{\sqrt{1-t^2}\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{-t^2+1-t^2}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{1-2t^2}{\sqrt{1-t^2}} \end{eqnarray*}$

Damit kannst du es nun noch mal versuchen. Freude

Freude

24.08.2015, 17:32

Seppelkoi

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Danke HAL,

Ich habe die Formel benutzt, die du gerade geschrieben hast, also war mein Ansatz wohl richtig. Ich bin mal gespannt, ob ich mit dem Rest der Aufgabe klar komme.

Ich setz mich mal dran und poste demnächst.

24.08.2015, 17:37

Seppelkoi

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Das mit der Erweiterung habe ich genau so gemacht, hatte nur einen Vorzeichenfehler, da ich das Minus vor dem Bruch dann einfach nicht mehr gesehen habe Hammer

Hammer

Somit habe ich also t^2 "wegsubtrahiert", da bei mir dann stand:

t^2+1-t^2

(sorry für kein Latex auf die Schnelle)

Da liegt also mein Fehler.

24.08.2015, 18:20

Seppelkoi

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Komme leider schon wieder nicht mehr weiter...

Ich hab versucht, den Term

$\begin{eqnarray*} 2t^2+(\frac{1-2t^2}{\sqrt{1-t^2} })^2 \end{eqnarray*}$

so zu vereinfachen, dass ich leicht Integrieren kann später bzw. dass ich die Wurzel im Integral verschwinden lassen kann.

Da kommt (wenn ich es richtig machen sollte) $\begin{eqnarray*} -\frac{6t^4+2t^2+1}{1-t^2} \end{eqnarray*}$ raus.

Ich habe nun versucht, den Term durch Polynomdivision weiter zu vereinfachen, was mir $\begin{eqnarray*} 6t^2+4+\frac{3}{1-t^2} \end{eqnarray*}$ liefert.

Das hilft mir aber irgendwie auch nicht, das Integral leichter zu gestalten LOL Hammer

LOL Hammer

Kann mir jemand einen ganz kleinen Hinweis geben, wie ich den Term von oben so umschreibe, dass die Wurzel im Integral dann verschwindet? Oder geht das hier gar nicht?

24.08.2015, 18:24

Seppelkoi

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Vergesst es, hab gerade bemerkt, dass ich (2t)^2 schreiben sollte und nicht 2t^2, deswegen ist das wieder falsch, ich setz mich wieder dran Hammer

Hammer

24.08.2015, 18:24

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2t^2+(\frac{1-2t^2}{\sqrt{1-t^2} })^2 \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl den Term:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{(}2t\textcolor{red}{)}^2+(\frac{1-2t^2}{\sqrt{1-t^2} })^2 \end{eqnarray*}$

Also noch mal von vorne.

edit: Selbst gemerkt. Freude

Freude

edit2:

Zitat:

Da kommt (wenn ich es richtig machen sollte) $\begin{eqnarray*} -\frac{6t^4+2t^2+1}{1-t^2} \end{eqnarray*}$ raus.

Das wäre aber auch verkehrt gewesen. Genauso wie dieses hier:

Zitat:

ich habe nun versucht, den Term durch Polynomdivision weiter zu vereinfachen, was mir $\begin{eqnarray*} 6t^2+4+\frac{3}{1-t^2} \end{eqnarray*}$ liefert.

25.08.2015, 16:01

Seppelkoi

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Also ich habe bisher:

$\begin{eqnarray*} (2t)^2+(\frac{1-2t^2}{\sqrt{1-t^2} } )^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4t^2 + \frac{4t^4-4t^2+1}{\sqrt{1-2t^2+t^4} } \end{eqnarray*}$

Dann habe ich versucht, mit Erweiterung durch den Wurzelterm im Nenner das Ganze irgendwie so zu gestalten, dass das Integral einfach wird. Das hat aber nicht so ganz geklappt, es wurde eher noch komplizierter.

Ich frage mich nun, ob es überhaupt möglich ist, den Term so zu vereinfachen, dass das Integral für die Länge der Kurve am Ende "einfach" ist. Ich glaube aber fest daran, dass es einen Trick gibt, wie man den Term so vereinfacht, dass man beim Integrieren nicht mehr viel machen muss! Prost

Prost

Ich wäre über einen Tipp sehr dankbar

25.08.2015, 16:10

Seppelkoi

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ICH GLAUB ICH HABS!!!

Also, mir ist aufgefallen, dass im Nenner generell wohl doch $\begin{eqnarray*} 1-t^2 \end{eqnarray*}$ rauskommen sollte...

Wenn ich dann eine Polynomdivision durchführe, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} 4t^2-4t^2+\frac{1}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

zu integrieren wäre sehr geil! Kann das stimmen?

25.08.2015, 16:11

Seppelkoi

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Ok abgesehen davon, dass ich mich wieder vertippt und X anstatt T geschrieben habe...

25.08.2015, 16:37

Mathema

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Zitat:

Also, mir ist aufgefallen, dass im Nenner generell wohl doch $\begin{eqnarray*} 1-t^2 \end{eqnarray*}$ rauskommen sollte...

Ist es so verwunderlich, wenn du eine Wurzel quadrierst, dass der Radikand das Ergebnis ist?

Es ist somit:

$\begin{eqnarray*} (2t)^2+(\frac{1-2t^2}{\sqrt{1-t^2} } )^2=4t^2+\frac{1-4t^2+4t^4}{1-t^2}=\frac{4t^2-4t^4+1-4t^2+4t^4}{1-t^2}=\frac{1}{1-t^2} \end{eqnarray*}$

Eine Polynomdivision benötigt man hier nicht. Es ist also folgendes Integral zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt \end{eqnarray*}$

25.08.2015, 16:49

Seppelkoi

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Ich danke dir, ich gehe meist viel zu kompliziert an die Dinge ran

Freuen tut mich allerdings, dass ich es doch irgendwo richtig gemacht habe smile

smile

25.08.2015, 17:26

Mathema

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Zitat:

Freuen tut mich allerdings, dass ich es doch irgendwo richtig gemacht habe

Mich auch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beachte aber, dass nicht der Bruch, sondern die Wurzel aus dem Bruch zu integrieren ist. Viel Spaß dabei.

25.08.2015, 17:30

Seppelkoi

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Also die Stmmafunktion von dem Integral ist

$\begin{eqnarray*} arcsin(t) \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} arcsin(\frac{1}{\sqrt{2} }) - arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2} } ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{sin\frac{1}{\sqrt{2} }} - \frac{1}{sin-\frac{1}{\sqrt{2} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\frac{\pi }{4} } + \frac{1}{\frac{\pi }{4} } = \frac{8}{\pi } \end{eqnarray*}$

smile

smile

25.08.2015, 17:34

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also die Stmmafunktion von dem Integral ist

$\begin{eqnarray*} arcsin(t) \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} arcsin(\frac{1}{\sqrt{2} }) - arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2} } ) \end{eqnarray*}$

Ja.

Freude

Zitat:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{sin\frac{1}{\sqrt{2} }} - \frac{1}{sin-\frac{1}{\sqrt{2} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\frac{\pi }{4} } + \frac{1}{\frac{\pi }{4} } = \frac{8}{\pi } \end{eqnarray*}$

Nein.

unglücklich

25.08.2015, 17:37

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt für den Arcsin dann wohl eine andere Wertetabelle? Bisher wusste ich nichts von deren Existenz, deswegen habe ich das mal für mich plausibel umgeformt.

Kannst du mir falls das möglich ist kurz erklären, warum ich das so nicht machen darf?

25.08.2015, 17:47

Mathema

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Wertetabelle? Darfst du keinen TR benutzen? Dann musst du diese Zeile doch nur eintippen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} arcsin(\frac{1}{\sqrt{2} }) - arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2} } ) \end{eqnarray*}$

Wie du danach umgeformt hast verstehe ich nicht und es ist einfach sinnfrei.

Wenn du den TR nicht benutzen darfst, dann musst du eben die Werte im Kopf haben. Der Sinus nimmt bei 45° den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ an, im Bogenmaß also $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ . Es ergibt sich somit:

$\begin{eqnarray*} L=\frac{\pi}{4}-(-\frac{\pi}{4})=... \end{eqnarray*}$

Den Rest überlasse ich dir.

Wink

Wink

25.08.2015, 18:07

Seppelkoi

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Naja, ich dachte halt, der $\begin{eqnarray*} arcsin \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\frac{1}{sin} \end{eqnarray*}$ bzw. "Sinus hoch minus eins" und deswegen müsse ich das so umformen!

War wohl nix.

Das Endergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Danke, ohne eure Hilfe wäre das mal wieder nicht möglich gewesen. Fest steht trotzdem, dass ich mega Angst vor der Klausur habe unglücklich

unglücklich

25.08.2015, 18:12

Mathema

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Zitat:

Naja, ich dachte halt, der $\begin{eqnarray*} arcsin \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\frac{1}{sin} \end{eqnarray*}$ bzw. "Sinus hoch minus eins" und deswegen müsse ich das so umformen!

Ahh - daher weht also der Wind, $\begin{eqnarray*} \sin^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ ist nur eine andere Schreibweise für $\begin{eqnarray*} \arcsin(x) \end{eqnarray*}$ . Dieses bedeutet jedoch nicht, dass du den Kehrwert vom Sinuswert nehmen sollst, das wäre $\begin{eqnarray*} (\sin(x))^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Dein Ergebnis ist natürlich richtig.

Gern geschehen.

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