Erwartungswert und Varianz schätzen, Tschebyscheff

25.08.2015, 10:58

Lamo98

Erwartungswert und Varianz schätzen, Tschebyscheff

Meine Frage:
Gegeben sei folgende unabhängige Stichprobe einer Zufallsvariablen X, d.h. unabhängige Realisierungen von X:
x1=1 x2=1 x3=2 x4=3 x5=1 x6=2 x7=5 x8=0 x9=2 x10=3

i) Schätzen Sie den Erwartungswert von X.
ii) Schätzen Sie die Varianz von X.
iii) Verwenden Sie die Ungleichung von Tschebyscheff, und bestimmen Sie ein ?, sodass Ihr Schätzer für E(X) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als? vom echten Erwartungswert abweicht.

Meine Ideen:
i) $\begin{eqnarray*} \bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} X_{k} <br /> = \frac{1}{10} * (1+1+2+3+1+2+5+0+2+3) = 2 \end{eqnarray*}$
Ist das schon der Erwartungswert? In meinem Skript gibt es nämlich folgende weitere Formel:
$\begin{eqnarray*} E(\bar{X}) = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} E(X_{k}) \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1} \sum\limits_{k=1}^{n} (X_{k}-\bar{X})^{2} <br /> = \frac{1}{10-1}* ((1-2)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2 + (5-2)^2 + (0-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2) <br /> = 2 \end{eqnarray*}$
Ist es richtig, die Varianz so zu schätzen?

25.08.2015, 11:07

HAL 9000

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Der berechnete Wert 2 ist nicht der Erwartungswert der Zufallsgröße, sondern eine Schätzung dieses Erwartungswertes.

Das hat nichts mit Wortklauberei zu tun, sondern ist essentiell zum Verständnis der Begriffe in der mathematischen Statistik, siehe hier.

Die Formeln, die du für Erwartungswertschätzung in i) und Varianzschätzung in ii) anwendest, sind richtig (wenn du überall Zufallsgrößensymbol "Groß" $\begin{align*} X \end{align*}$ durch Realisierungssymbol "klein" $\begin{align*} x \end{align*}$ austauschst).

Zitat:

Original von Lamo98
iii) Verwenden Sie die Ungleichung von Tschebyscheff, und bestimmen Sie ein ?, sodass Ihr Schätzer für E(X) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als? vom echten Erwartungswert abweicht.

Die Fragezeichen ? sollten durch das ersetzt werden, was wirklich dort stand. unglücklich

25.08.2015, 11:24

Lamo98

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ups, ich habe mich so sehr auf die ersten beiden Aufgabenteile konzentriert, dass ich den 3. Teil erstmal gar nicht weiter beachtet habe...
Also bei i) brauche ich nicht noch weiter rechnen, das ist so korrekt, wenn ich das X zu x mache?

iii) Verwenden Sie die Ungleichung von Tschebyscheff, und bestimmen Sie ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , sodass Ihr Schätzer für E(X) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ vom echten Erwartungswert abweicht.

Für die Tschebyscheff-Ungleichung gibt mein Skript folgendens her:

$\begin{eqnarray*} P( | \bar{X} - E(X)| \geq \epsilon ) = P(| \bar{X} - E( \bar{X} ) | \geq \epsilon) \leq \frac{Var(\bar{X})}{\epsilon^2} = \frac{Var(X)}{n*\epsilon^2} \end{eqnarray*}$

Hilft mir das für die Bearbeitung von iii)?

25.08.2015, 11:31

HAL 9000

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Ja klar hilft das: Der Wert rechts darf also nicht größer werden als 10%, entsprechend ist das $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ zu bestimmen.

Es gibt allerdings einen kleinen Haken an der Sache, an den vielleicht nicht mal die Aufgabensteller gedacht haben (bzw. ihn ignoriert haben): Wir kennen zwar Stichprobenumfang $\begin{align*} n=10 \end{align*}$ , aber nicht die Varianz $\begin{align*} V(X) \end{align*}$ , sondern nur via ii) deren Schätzung. Vermutlich sollst du für $\begin{align*} V(X) \end{align*}$ also einfach diese Schätzung nehmen, was zwar nicht mathematisch sauber ist, aber wohl in der Absicht der Aufgabensteller lag. Augenzwinkern

25.08.2015, 11:44

Lamo98

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Ja, ich denke, dass mit der Schätzung der Varianz gearbeitet werden soll.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\epsilon^2} \leq 0,1<br /> \epsilon \geq 2\sqrt{5} \end{eqnarray*}$
Habe ich das so richtig verstanden?

25.08.2015, 11:59

HAL 9000

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Du hast das n=10 weggelassen - warum? Es geht um

$\begin{align*} \frac{\operatorname{Var}(X)}{n\cdot \epsilon^2} \leq 0.1 \end{align*}$ .

25.08.2015, 12:09

Lamo98

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Gute Frage unglücklich

Also $\begin{eqnarray*} \epsilon \geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Dankeschön!

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