Extremwerte mit NB ohne Lagrange bestimmen

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Acc383094 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerte mit NB ohne Lagrange bestimmen
Meine Frage:
Hallo,

ich brauche dringende Hilfe bei der Lösung des nachstehenden Problems:

Es gilt Extremwerte unter einer Nebenbedingung ohne Lagrange zu bestimmen,

Beispielsweise die Funktion

f(x,y) = x^2 + x^3 unter der Nebenbedingung x+y = 1.

Meine Ideen:
Mein Lösungsansatz bzw. Schema F sieht wie folgt aus:

1) Nebenbedingung zu einer Variable umstellen
2) Umgestellte Nebenbedingung in f(x,y) einsetzen
3) Davon erste Ableitung bilden
4) Ableitung nach Variable auflösen

So richtig weiter komme ich dann nicht. Ich weiß nicht genau, ob ich hier mit der Hesse-Determinante weiterarbeiten muss.

Ich hoffe auf Hilfe.

Gruß
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei nur einer Variablen (was ja nach der Elimination der anderen Variablen der Fall ist) ist die Hessematrix schlicht eine 1x1-Matrix, die die zweite Ableitung enthät. Augenzwinkern

Übrigens: Dass gar nicht von abhängt, ist kein Schreibfehler? verwirrt
Acc383094 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, natürlich nicht x^2 + x^3 sondern x^2 + y^3


So richtig weiter bringt mich die Antwort leider noch nicht :/
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum führst du nicht einfach deine Punkte mal durch? Ich fange mit (1),(2) an:

nach umgestellt ergibt , eingesetzt ergibt sich

.

Die Suche nach (lokalen und globalen) Extremstellen einer solchen Funktion mit nur einer Variablen sollte dir doch vertraut sein, oder?
Acc383094 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube die Frage wurde nicht klar.

Natürlich führt mich das zu einem Wertepaar.. Bloß: Das Wertepaar muss noch auf maximum und minimum bestimmt werden, sonst bleibts ja nur nen kritischer Punkt, und genau das ist die Frage bei mir: Wie das bestimmen unter ner NB?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das war durchaus klar: Ich habe von einer kompletten Extremwertuntersuchung geredet, nicht nur von der Bestimmung kritischer Stellen! böse

Ich hatte angenommen, dass dir die entsprechenden Kriterien bei Extremwertaufgaben mit einer Variable vertraut sind - Stichwort: zweite Ableitung.

Im übrigen geht es eh nur nur noch um die Untersuchung evtl. lokaler Extrema. Dass die Funktion keine globalen Extrema hat, sieht man ja sofort bei Betrachtung .


P.S.: Höre auf mit der NB, die ist durch die Elimination von Geschichte, spielt keine Rolle mehr!
 
 
Acc383094 Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Sydsaeter habe ich folgende Antwort:

"Betrachten Sie das Problem:

max(min) f(x,y) unter der NB g(x,y) = c.

Für die Bestimmung der Extrempunkte definieren Sie:

D(x,y,/lambda) = (f**xx- /Lambda * g**xx) (g*y)^2 - 2*( f**xy - Lambda*g**xy) * (g*x) * (g*y) + (f*yy - lambda * g**yy) (g*y)^2.


Ich weiß nicht, ob man das hier benutzen soll dafür?!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie oft soll ich noch sagen, dass durch die Elimination von y aus der ganzen Extremwertuntersuchung "2 Variablen mit NB" eine Untersuchung "1 Variable ohne NB" geworden ist? Und ich war es nicht, der den Eliminationsweg vorgeschlagen hat, sondern DU. Forum Kloppe

Zwecklos, habe fertig - ein anderer Helfer darf gern ran.
Acc383094 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich stehe da etwas auf dem Schlauch.

Ich rechne es kurz vor:

f(x,y) = x* y
NB: 2x + 2y = 20

1) Nebenbedingung umstellen

2 + 2y = 20
y = 10 - x

2) Umgestellte NB in f(x,y) einsetzen

f(x, 10-x) = x * (10 - x)

A = 10x - x^2


3) Ableitung von A

A' = 10 - 2x

4) A' = 0 setzen und x bestimmen

x = 5

5) x in y einsetzen

y = 10 - 5 = 5

6) Ergibt das Wertepaar (x,y) = (5,5).


So nun möchte ich hiervon noch wissen, ob das ein Hoch oder Tiefpunkt ist. Dazu bestimmte ich normalerweise die f'' Ableitung nach x und y. Wenn ich das hier jedoch tun würde, würde ich ja die Nebenbedingung nicht mehr berücksichtigen. Was genau muss denn abgeleitet werden, um zu überprüfen, ob hoch oder tiefpunkt?
Acc383094 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre der korrekte Lösungsweg A dann zwei mal abzuleiten und von dieser Gleichung die Extrempunktfrage zu klären?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es sich um ein Maximum handeln muß, läßt sich an 2 Beispielen nachweisen:
1) Die Hilfsfunktion f(x) ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitelpunkt folglich ein Maximum ist.
2) Genauer betrachtet besteht doch die Aufgabe in der Fragestellung, unter welchen Bedingungen das Produkt zweier Zahlen maximal wird, wenn ihre Summe konstant sein soll.
Gesucht ist allgemein das Maximum von , wenn Dieselbe Rechnung führt dann darauf, dass sein muß, somit
Gegenprobe: Nehmen wir an, eine der beiden Zahlen, z. B. , weiche beliebig (nach unten) von ab. Also ist . Dann ist gemäß Nebenbedingung . Hieraus folgt wiederum , also immer kleiner als für alle .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Acc383094
Wäre der korrekte Lösungsweg A dann zwei mal abzuleiten und von dieser Gleichung die Extrempunktfrage zu klären?

Um diese Frage zu beantworten (denn nicht immer hat man es mit einer Parabel zu tun):
Eine Funktion f: R --> R hat an der Stelle x_0 ein lokales Maximum (lokales Minimum), wenn gilt: f'(x_0) = 0 und f''(x_0) < 0 (f''(x_0) > 0) .

Hinweis: man nennt auch f'(x_0) = 0 die notwendige und f''(x_0) ungleich Null eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines lokales Extremums.

EDIT: fehlendes "ungleich Null" im letzten Satz ergänzt.
Acc383094 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, den ersten Ansatz des Beweises kann ich nachvollziehen. Das gestaltet sich dann bei schwierigeren Klausuraufgaben arbeitsintensiver, da ein geometrisches Argument zu finden.

Die Aufgabe kann genau so gut lauten bestimmen sie max(min) f(x,y) unter g(x,y) = C. Womit genau ist dann gegeben, dass das ganze maximiert werden soll laut Aufgabe? Genau hierin besteht ja die Aufgabe.


-> Meine oben angeführte Rechnung ist also somit abgeschlossen und komplettiert?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Acc383094
Die Aufgabe kann genau so gut lauten bestimmen sie max(min) f(x,y) unter g(x,y) = C. Womit genau ist dann gegeben, dass das ganze maximiert werden soll laut Aufgabe? Genau hierin besteht ja die Aufgabe.

Es soll f(x,y) maximiert werden, aber eben nur auf der Menge der Wertepaare (x,y), wo g(x,y) = C ist. Sofern sich g(x,y) = C nach y (oder nach x) auflösen läßt, kannst du damit das y (bzw. x) in f(x,y) ersetzen und du hast eine Funktion mit einer Variablen. Wenn nicht, hilft das Lagrange-Verfahren. Dann gehört aber dieses Thema in den Hochschulbereich.

Zitat:
Original von Acc383094
-> Meine oben angeführte Rechnung ist also somit abgeschlossen und komplettiert?

Nein, du hast noch nicht explizit nachgewiesen, daß es sich um eine Extremum handelt.
(Oder du übernimmst die Ausführungen von klauss.)
Acc383094 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Acc383094
-> Meine oben angeführte Rechnung ist also somit abgeschlossen und komplettiert?

Nein, du hast noch nicht explizit nachgewiesen, daß es sich um eine Extremum handelt.
(Oder du übernimmst die Ausführungen von klauss.)[/quote]

Genau darauf möchte ich ja hinaus... Normalerweise bei mehrdimensionalen Funktionen nutzt man die Hesse Determinante, um zu sagen was es ist. Hier fehlt mir das ja, bzw. das Vorgehen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte es sein, daß du meine Posts nicht liest? Hier steht, was zu tun ist:
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Acc383094
Wäre der korrekte Lösungsweg A dann zwei mal abzuleiten und von dieser Gleichung die Extrempunktfrage zu klären?

Um diese Frage zu beantworten (denn nicht immer hat man es mit einer Parabel zu tun):
Eine Funktion f: R --> R hat an der Stelle x_0 ein lokales Maximum (lokales Minimum), wenn gilt: f'(x_0) = 0 und f''(x_0) < 0 (f''(x_0) > 0) .

Hinweis: man nennt auch f'(x_0) = 0 die notwendige und f''(x_0) ungleich Null eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines lokales Extremums.

Du mußt also das Vorzeichen der 2. Ableitung an der Stelle bestimmen, an der verdachtsweise ein lokales Extremum sein könnte. Das entspricht dem Verfahren mit der Hesse-Matrix bei mehreren Variablen.

Vielleicht kannst du uns auch einen Hinweis zu deinem schulischen Werdegang geben, denn dieses Thema wird in aller Ausführlichkeit in der Sekundarstufe II behandelt.
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