Satz von Lax-Milgram (im Beweis, warum ist das Funktional stetig?)

26.08.2015, 12:23

Iue898

Satz von Lax-Milgram (im Beweis, warum ist das Funktional stetig?)

Meine Frage:
Hallo,

im Beweis des Satzes von Lax-Milgram wird am Anfang sofort gesagt, das das Funktional $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ linear und stetig mit $\begin{eqnarray*} l(v) \leq L ||v|| \end{eqnarray*}$ ist.

Zur Erinnerung:

Satz von Lax-Milgram:
Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eine abgeschlossene, konvexe Menge in einem Hilbertraum $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a:H \times H \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine elliptische Bilinearform. Für jedes lineare Funktional $\begin{eqnarray*} l:H \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat das Variationsproblem

$\begin{eqnarray*} J(v) = \frac{1}{2} a(v,v) - l(v) \to min \end{eqnarray*}$
genau eine Lösung in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich komm irgendwie nicht drauf warum das stetig sein soll? Es gibt ja auch lineare Funktionale die nicht stetig sind. Hat jemand vielleicht eine Idee oder übersehe ich einfach etwas offensichtliches?

26.08.2015, 12:31

Captain Kirk

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Hallo,

mir scheint hier schlicht eine schlampige Formulierung vorzuliegen.
Hier z.B. mathworld.wolfram.com/Lax-MilgramTheorem.html wird die Beschränkheit explizit erwähnt.

Fehlt nicht auch noch irgendwo eine zweite Variable im Variationsproblem?

26.08.2015, 12:51

IfindU

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Fehlt nicht auch noch irgendwo eine zweite Variable im Variationsproblem?

Ich glaube du verwechselst gerade das Minimierungsproblem mit der zugehörigen Euler-Lagrange Gleichung.

03.09.2015, 15:56

Iue898

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Hallo,

Captain Kirk hatte recht. Ich hatte eine schlampige Formulierung gewählt. Der Raum der stetigen linearen Funktionale muss vorausgesetzt werden.
Vielen Dank :-)

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