9 Ziffern in Folge beim Ziehen von 10 Karten

26.08.2015, 16:51

Viktoria64

9 Ziffern in Folge beim Ziehen von 10 Karten

Meine Frage:
Hallo, seit mehreren Monaten beschäftigt mich diese frage, und mittlerweile weiß ich nicht mehr weiter...
Es geht um ein Kartenspiel: es gibt 96 Karten mit Ziffern von 1-12. Also pro Ziffer 8 karten. Nun werden 10 Karten gezogen. Die Reihenfolge ist egal.
Die Frage ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit man eine "neunerfolge" (9 Ziffern in folge. Z.b. 123456789 oder 23456789 10 aber nicht 13456789 10) zieht.

Meine Ideen:
Meiner Meinung nach sind die größten probleme, dass man ja eine mehr zieht, als man braucht, aber nicht weiß an wievielte stelle man die "unnütze" zieht. D.h. für die brauchbaren karten, die man danach zieht ändert sich die wahrscheinlichkeit...
Außerdem weiß ich nicht wie man rechnerisch Lösungen wie z.b. 13456789 10 ausschließt.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, ich bin dankbar für alles, also auch mit ideen, ansätzen, oder varianten, wies nicht geht kann schon geholfen sein Augenzwinkern

Lg Viktoria

26.08.2015, 17:27

HAL 9000

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Du kannst das ganze über folgende Ereignisse betrachten:

$\begin{align*} A_k \end{align*}$ ... 9 Karten $\begin{align*} k,\ldots,k+8 \end{align*}$ sind unter den gezogenen 10 Karten dabei

Dann suchst du die Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} p=P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4) \end{align*}$ . Gemäß Siebformel ist das

$\begin{align*} p = \sum_{k=1}^4 P(A_k) - \sum_{1\leq k<l\leq 4} P(A_k\cap A_j) \end{align*}$ ,

denn alle Dreier- und höheren Ereignisschnitte sind hier leer - es können nicht 11 oder mehr Karten unter den 10 sein. Aus letzterem Grund ist dann auch

$\begin{align*} \sum_{1\leq k<l\leq 4} P(A_k\cap A_j) = \sum_{k=1}^3 P(A_k\cap A_{k+1}) \end{align*}$

mit der inhaltlichen Bedeutung

$\begin{align*} A_k\cap A_{k+1} \end{align*}$ ... 10 Karten $\begin{align*} k,\ldots,k+9 \end{align*}$ bilden die 10 gezogenen Karten

26.08.2015, 20:34

Viktoria64

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Ups, die ganze Antwort wollte ich nicht kopieren, eig sollte es nur ein kleines Zitat werden. Ich kenn mich hier noch nicht so ganz aus...

Ich hab den betreffenden Beitrag gelöscht, dann ist es übersichtlicher. Steffen

Danke für die ausführliche Antwort.
Ich hätte da bloß noch ne frage dazu, könntest du bitte den 2. Ausdruck in der Gleichung p=... erklären?
Ich kann mit dem 'Startwert' und mit dem A_j leider nichts anfangen.

Da wäre ich sehr dankbar

26.08.2015, 23:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Viktoria64
Ich kann mit dem 'Startwert' und mit dem A_j leider nichts anfangen.

Ich habe die Ereignisse $\begin{align*} A_k \end{align*}$ inhaltlich erklärt (mögliche Werte k=1,2,3,4), und $\begin{align*} j \end{align*}$ ist nur ein anderer Index. Von 'Startwert' habe ich nirgendwo geredet. Insofern verstehe ich nicht, was diese deine Frage soll. unglücklich

EDIT: Ach Ok, habe mich bei der Summation verschrieben: Statt $\begin{align*} 1\leq k< l\leq 4 \end{align*}$ soll das $\begin{align*} 1\leq k< j\leq 4 \end{align*}$ heißen. Augenzwinkern

27.08.2015, 10:15

Viktoria64

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Ah ok, dann macht das Sinn!
Vielen Dank Freude

27.08.2015, 12:57

HAL 9000

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Wenn du es raus hast, kannst du die Rechnung ja mal vorstellen - damit der Thread nicht so unfertig da steht. Augenzwinkern

EDIT: Keine Reaktion - schade. Als Siebformel-Fan muss ich dann wohl den Thread abrunden:

Der Symmetrie wegen ist $\begin{align*} p=4P(A_1)-3P(A_1\cap A_2) \end{align*}$ . Nun berechnen wir diese beiden Wahrscheinlichkeiten als Laplace-Wahrscheinlichkeiten, wobei es ja insgesamt $\begin{align*} \binom{96}{10} \end{align*}$ Möglichkeiten gibt, 10 aus 96 Karten zu ziehen.

1) $\begin{align*} P(A_1) \end{align*}$ :

Die Ziffernkarten 1..9 sind unter den 10 Karten vertreten. Für die restliche Karte gibt es grundsätzlich zwei Fälle:

(a) Es ist eine Karte 1..9. Dann gibt es erstmal 9 Möglichkeiten für die Wahl der Ziffer, die doppelt vorkommt, und dann nochmal $\begin{align*} \binom{8}{2} \end{align*}$ Möglichkeiten für die Auswahlen dieser beiden Karten aus ihrer Zifferngruppe. Inklusive der anderen 8 Karten gibt es damit $\begin{align*} 9\cdot 8^8\cdot \binom{8}{2} \end{align*}$ Ziehungsmöglichkeiten.

(b) Es ist eine Karte 10..12. Dafür gibt es dann inklusive der ersten 9 Karten $\begin{align*} 8^9\cdot 24 \end{align*}$ Ziehungsmöglichkeiten.

Das ergibt $\begin{align*} P(A_1) = \frac{8^8}{\binom{96}{10}} \left( 9\binom{8}{2}+8\cdot 24\right) = \frac{8^8\cdot 444}{\binom{96}{10}} \end{align*}$ .

2) $\begin{align*} P(A_2) \end{align*}$ :

Das ist wesentlich einfacher: Es sind genau die Ziffernkarten 1..10 im Blatt, das ergibt $\begin{align*} P(A_2) = \frac{8^{10}}{\binom{96}{10}} \end{align*}$ .

Wir erhalten insgesamt

$\begin{align*} p = 4P(A_1)-3P(A_1\cap A_2) = \frac{8^9\cdot (222-3\cdot 8)}{\binom{96}{10}} = \frac{50\,331\,648}{21\,363\,497\,077} \approx 0.002356 \end{align*}$ .

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