Gradient und lokale Extremwerte

26.08.2015, 18:46

Millikesse75

Gradient und lokale Extremwerte

Hey Leute,

Ich hänge gerade an der Aufgabe c) und komme einfach nicht weiter. Über Hilfestellung würde ich mich sehr freuen :-)

Gegeben ist die Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 2x^{3} - 6xy + 4y^{2} \end{eqnarray*}$
a) Bestimmen Sie den $\begin{eqnarray*} grad(f) \end{eqnarray*}$ :
Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} f'_{x}=6x^{2} - 6y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'_{y} = 8y - 6x \end{eqnarray*}$

b) Bestimmen Sie die Hessematrix von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$
Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} H_{f} = \begin{pmatrix} 12x &-6 \\ -6 &8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c) Untersuchen Sie die Funktion auf lokale Extremwerte:
Tja. Hier komme ich nicht weiter, denn schließlich muss ich zweimal die erste Ableitung gleich Null setzen.

$\begin{eqnarray*} f'_{x} = 6x^{2}-6y = 0 \rightarrow \sqrt[]{y} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_{y} = 8y -6x = 0 \rightarrow \frac{4}{3} * y = x \end{eqnarray*}$

Weiter würde man normalerweise ja auch noch kontrollieren, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt... etc.

Danke für eure Hilfe :-)

26.08.2015, 19:06

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'_{x} = 6x^{2}-6y = 0 \rightarrow \sqrt[]{y} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_{y} = 8y -6x = 0 \rightarrow \frac{4}{3} * y = x \end{eqnarray*}$

Du kannst auch einfach y=x² in der zweiten Gleichung für y einsetzen und die daraus entstehende quadratische Gleichung lösen.

26.08.2015, 20:04

Millikesse75

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Dann komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} (4/3)*x^{2} = x \end{eqnarray*}$
Nach Null umgeformt...
$\begin{eqnarray*} x^{2}-(3/4)x = 0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} = 3 \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einsetze bekomme ich bei der einen
$\begin{eqnarray*} y=9 \end{eqnarray*}$ und bei der anderen $\begin{eqnarray*} y=2.25 \end{eqnarray*}$

Gibt es also die 3 lokale Extremwerte?

27.08.2015, 08:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Millikesse75
$\begin{eqnarray*} x^{2}-(3/4)x = 0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} = 3 \end{eqnarray*}$

Dein x_2 stimmt nicht, wie du durch Einsetzen in die Gleichung leicht feststellen kannst. smile

Zitat:

Original von Millikesse75
Wenn ich nun für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einsetze bekomme ich bei der einen
$\begin{eqnarray*} y=9 \end{eqnarray*}$ und bei der anderen $\begin{eqnarray*} y=2.25 \end{eqnarray*}$

Das rechne mir bitte mal vor.

27.08.2015, 11:30

Millikesse75

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Ja, du hast recht. War gestern abend nicht mehr ganz auf der Höhe :-D

Bei:
$\begin{eqnarray*} 6x^{2} - (9/2)*x = 0 \end{eqnarray*}$
kommen natürlich folgende x-Werte heraus:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} = (3/4) \end{eqnarray*}$
Also lauten die Punkte:
$\begin{eqnarray*} (0 ; 0) (0.75 ; 0.56) \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich auch noch checken ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
Wenn ich mir da die Hesse-matrix ansehe, kann ich mein x höchstens bei $\begin{eqnarray*} f_{xx} = 12x \end{eqnarray*}$ einsetzen:
$\begin{eqnarray*} f_{xx}(0) = 0 \rightarrow Keine Aussage \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xx}(0.75) = 9 \rightarrow Tiefpunkt (lokales Minimum) \end{eqnarray*}$

Muss ich dann um die Aufgabe komplett zuhaben noch etwas zu den anderen aus der Hessematrix sagen oder bin ich damit fertig?

Hoffentlich habe ich mich diesmal nicht vertan ;-)

27.08.2015, 12:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Millikesse75
$\begin{eqnarray*} (0 ; 0) (0.75 ; 0.56) \end{eqnarray*}$

Nun ja, völlig korrekt ist (0.75 ; 9/16) . smile

Zitat:

Original von Millikesse75
$\begin{eqnarray*} f_{xx}(0.75) = 9 \rightarrow Tiefpunkt (lokales Minimum) \end{eqnarray*}$

Hm. Meines Erachtens ist das zu wenig. Du mußt schon die Definitheit der Hesse-Matrix prüfen.

27.08.2015, 14:05

Millikesse75

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Also muss ich das charakteristische Polynom aus der Hessematrix bilden?
$\begin{eqnarray*} \lambda^{2} - 12x\lambda - 8\lambda + 96x - 36 \end{eqnarray*}$
Bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ bedeutet das also:
$\begin{eqnarray*} \lambda^{2} - 8\lambda - 36 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 2*13^{1/2}+4 \approx 11.21 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 2*13^{1/2}-4 \approx 3.21 \end{eqnarray*}$
Also sind alle Eigenwerte $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ . So handelt es sich um ein lokales Minimum.

Bei $\begin{eqnarray*} x=(3/4) \end{eqnarray*}$ bedeutet das also:
$\begin{eqnarray*} \lambda^{2} -17\lambda + 36 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{3} = (17/2)+36.25^{1/2} \approx 14.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{4} = (17/2)-36.25^{1/2} \approx 2.47 \end{eqnarray*}$
Also sind alle Eigenwerte $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ . So handelt es sich auch um ein lokales Minimum.

So ist meine vorherige Aussage, dass bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ keine Aussage möglich ist falsch.

Hmm, fehlt sonst noch was?

27.08.2015, 14:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Millikesse75
Also muss ich das charakteristische Polynom aus der Hessematrix bilden?

Oder du berechnest die Hauptminoren. smile

Zitat:

Original von Millikesse75
$\begin{eqnarray*} \lambda^{2} - 8\lambda - 36 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 2*13^{1/2}+4 \approx 11.21 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 2*13^{1/2}-4 \approx 3.21 \end{eqnarray*}$

So sieht das Polynom aus:

Mir scheint, da stimmt was nicht bei deinen Nullstellen.

27.08.2015, 14:52

Millikesse75

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Ja, habe mir meine Rechnungen gerade nocheinmal angesehen:

Da habe ich wohl ein Vorzeichen vergessen -.-
Hier nochmal die korrigierte Fassung:

Bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ bedeutet das also:
$\begin{eqnarray*} \lambda^{2} - 8\lambda - 36 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 2*13^{1/2}+4 \approx 11.21 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 2*13^{1/2}-4 \approx -3.21 \end{eqnarray*}$
Also sind alle Eigenwerte indefinit, da die Ergebnisse sowohl positiv als auch negativ sind.

So ist an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ein Sattelpunkt

Hammer

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