Divergenz bei alternierenden Reihen

26.08.2015, 21:49

lekniwsisi

Divergenz bei alternierenden Reihen

Meine Frage:
Hallo allerseits,

ich tue mich etwas schwer das Konvergenzverhalten alternierender Reihen zu bestimmen. Dabei stellt die Reihe für mich kein Problem da, wenn sie konvergent ist und das Leibniz Kriterium erfüllt. Tut sie dies jedoch nicht weiß ich meist nicht weiter. Wie gehe ich am besten vor um die Divergenz alternierender Reihen nachzuweisen?

Meine Ideen:
Meinem Verständnis nach, sind Reihen deren Grenzwert ungleich null ist prinzipiell divergent. Soweit ich das Verstanden haben kann ich jedoch durch nicht zutreffen des Leibniz Kriteriums nicht auf Divergenz schließen.
Kann ich jedoch auf Divergenz schließen, falls der Grenzwert null ist, die Reihe aber nicht monoton fallend?
Ich bin für alle Hinweise dankbar, ich finde leider vorwiegend Informationen für nicht alternierende Reihen, die mir bis jetzt nicht wirklich weiterhelfen konnten!

27.08.2015, 00:01

Mulder

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RE: Divergenz bei alternierenden Reihen

Zitat:

Original von lekniwsisi
Wie gehe ich am besten vor um die Divergenz alternierender Reihen nachzuweisen?

Also da irgendwie ein Kochrezept zu nennen ist eigentlich kaum möglich. Kommt drauf an, was vorliegt. Vielleicht erstmal nach geeigneten Abschätzungen Ausschau halten. Kann oft helfen. Muss aber nicht.

Zitat:

Original von lekniwsisi
Meine Ideen:
Meinem Verständnis nach, sind Reihen deren Grenzwert ungleich null ist prinzipiell divergent.

??

Wenn eine Reihe einen Grenzwert besitzt, ist sie auch konvergent. Vielleicht meinst du, dass eine Reihe prinzipiell divergent ist, wenn die Folge, deren Folgenglieder aufsummiert werden, keine Nullfolge ist. Das stimmt natürlich.

Zitat:

Original von lekniwsisi
Soweit ich das Verstanden haben kann ich jedoch durch nicht zutreffen des Leibniz Kriteriums nicht auf Divergenz schließen.

Nein, kannste nicht. Mit "nicht zutreffen" meinst du vermutlich "nicht anwenden können".

Zitat:

Original von lekniwsisi
Kann ich jedoch auf Divergenz schließen, falls der Grenzwert null ist, die Reihe aber nicht monoton fallend?

Erstmal: Monoton fallend muss die Folge sein, deren Glieder du aufsummierst. Du wirfst offenbar Reihe und Folge die ganze Zeit durcheinander. Oder was soll eine "monoton fallende Reihe" sein?

Und nein: Nur weil das Leibniz-Kriterium nicht anwendbar ist, muss eine alternierende Reihe nicht gleich divergent sein! Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum (-1)^n \frac{|\sin(n)|^n}{n^2} \end{eqnarray*}$

Die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{|\sin(n)|^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich eine Nullfolge, aber nicht monoton. Oder lass es mich so sagen: Egal ob sie monoton ist oder nicht, wie willst du da Monotonie nachweisen? Der Zähler kann theoretisch beliebig nahe an 0 herankommen. Leibniz kannste damit knicken. Konvergent ist die Reihe aber trotzdem.

Übrigens kannst du bei diesem Beispiel dann auch mit einer einfachen Abschätzung die Konvergenz nachweisen. Denn offenbar ist $\begin{eqnarray*} \frac{|\sin(n)|^n}{n^2} \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und du erhältst dann wieder eine Reihe, deren Konvergenz mit Leibniz problemlos nachweisbar ist. Siehe oben: "Geeignete Abschätzungen suchen". Manchmal benutzt man halt nicht nur ein Konvergenzkriterium, sondern auch mal zwei oder mehr nacheinander weg, um Konvergenz/Divergenz nachzuweisen. Flexibilität ist gefragt! Auch bei anderen Kriterien kann es hilfreich sein, sich erstmal mit Minoranten- oder Majorantenkriterium alle weiteren Rechnungen deutlich zu vereinfachen (oder gar erst zu ermöglichen).

27.08.2015, 08:15

IfindU

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RE: Divergenz bei alternierenden Reihen

Zitat:

Original von Mulder
Übrigens kannst du bei diesem Beispiel dann auch mit einer einfachen Abschätzung die Konvergenz nachweisen. Denn offenbar ist $\begin{eqnarray*} \frac{|\sin(n)|^n}{n^2} \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und du erhältst dann wieder eine Reihe, deren Konvergenz mit Leibniz problemlos nachweisbar ist.

Wenn du die $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ mit im Betrag abschätzt, so kann man durch diese Abschätzung die absolute Konvergenz der Reihe sehen. Aber das Leibniz-Kriterium braucht die Monotonie der Nullfolge,. Daraus folgt nämlich, dass Auslöschungseffekte in der Reihe auftreten und unter Kontrolle sind.

Ansonsten wären alle Reihen der Form $\begin{eqnarray*} \sum (-1)^n a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n \to 0 \end{eqnarray*}$ konvergent, indem man $\begin{eqnarray*} b_n = \sup_{ n \leq k} |a_k| \end{eqnarray*}$ setzt. Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} |a_n| \leq b_n \end{eqnarray*}$ trivialerweise und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ monotone Nullfolge.

Beispiel wo das z.B. schiefgeht ist $\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} \frac 1 n & n \text{ gerade} \\ \frac 1 {n^2} & n \text{ ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Damit summiert man effektiv über die harmonische Reihe in positive Richtung und über eine konvergente Reihe in negativer Richtung. Trivialerweise erhält man aber natürlich die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac 1 {n^2} \leq \frac 1 n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum (-1)^n \frac 1 n \end{eqnarray*}$ konvergent.

27.08.2015, 09:53

lekniwsisi

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RE: Divergenz bei alternierenden Reihen
Erstmal vielen Dank für die Antworten!

Allerdings ist mir folgende Erläuterung nicht ganz klar:

Zitat:

du betrachtest doch hier bei dem Vergleich die (-1) garnicht. Ist diese nicht ausschlaggebend für das Konvergenzverhalten?

27.08.2015, 10:45

klarsoweit

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RE: Divergenz bei alternierenden Reihen
Ich kann mich irren, aber die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ergibt sich nicht aus dem Leibniz-Kriterium, sondern aus anderen Überlegungen.

27.08.2015, 12:07

Mulder

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RE: Divergenz bei alternierenden Reihen

Zitat:

Original von lekniwsisi
Allerdings ist mir folgende Erläuterung nicht ganz klar:

Vergiss diese Erläuterung, siehe IfindU.

27.08.2015, 12:50

HAL 9000

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Gelegentlich hilfreich bei Reihen mit Gliedern unterschiedlicher Vorzeichen (das muss nicht gleich alternierend heißen!) ist das Kriterium von Dirichlet, welches man als Verallgemeinerung des Leibnizkriterium betrachten kann. Ein schönes Beispiel für die Anwendung ist $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(k)}{k} \end{align*}$ .

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