Grenzwert, Asymptotische Beziehung

28.08.2015, 08:34

StrunzMagi

Grenzwert, Asymptotische Beziehung

Ich soll zeigen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}. \end{eqnarray*}$

D.h. ich muss zeigen $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\binom{2n}{n} \sqrt{\pi n}}{2^{2n}}=1 \end{eqnarray*}$
Zusammengefasst $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\binom{2n}{n} \sqrt{\pi n}}{2^{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)*..(2n) \sqrt{ \pi n}} {n! 2^{2n}} \end{eqnarray*}$

Mittels des Wallischen Produkt habe ich : $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi}= \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{ 2 \sum_{k=1}^n \frac{4k^2}{4k^2-1}} \end{eqnarray*}$
Nun ist $\begin{eqnarray*} 4k^2= (2k)^2 \end{eqnarray*}$ und mit der dritten Binomischen Formel $\begin{eqnarray*} 4k^2 -1 = (2k-1)*(2k+1) \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{ 2 \sum_{k=1}^n \frac{4k^2}{4k^2-1}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{ 2 \frac{2*2*4*4*...*(2n)*(2n)}{(2-1)*(2+1)*(4-1)*(4+1)*..*(2n-1)(2n+1)}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{2} \frac{2*4*6*..*2n}{3*5*..*(2n-1)\sqrt{2n+1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2}{2n+1}} \frac{2^2 *4^2*..*(2n)^2}{(2n)!}= \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{n+1/2}} \frac{(n!)^2 *(2^2)^n}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

Nun würde das perfekt passen wenn ich das einsetze in die zu beweisende Folge von Anfang.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)*..(2n) \sqrt{n}*[\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{n+1/2}} \frac{(n!)^2 *(2^2)^n}{(2n)!}]} {n! 2^{2n}} \end{eqnarray*}$
Aber mein Problem ist dass ich ja nicht den Grenzwert so einfach zusammenfassen darf.

Ich müsste doch vorher zeigen, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+1)*..*(2n) \sqrt{n}}{n! 2^{2n}}= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(2n)! \sqrt{n}}{(n!)^2 2^{2n}} \end{eqnarray*}$ existiert. Aber wie mach ich das?
Ich könnte auch umformen auf $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n+1}{1} \frac{n+2}{2}*..*\frac{2n}{n} \frac{\sqrt{n}}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$

LG,
MaGi

28.08.2015, 10:29

Leopold

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RE: Grenzwert, Asymptotische Beziehung

Zitat:

Original von StrunzMagi
Mittels des Wallischen Produkt habe ich : $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi}= \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{ 2 \sum_{k=1}^n \frac{4k^2}{4k^2-1}} \end{eqnarray*}$
Nun ist $\begin{eqnarray*} 4k^2= (2k)^2 \end{eqnarray*}$ und mit der dritten Binomischen Formel $\begin{eqnarray*} 4k^2 -1 = (2k-1)*(2k+1) \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{ 2 \sum_{k=1}^n \frac{4k^2}{4k^2-1}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{ 2 \frac{2*2*4*4*...*(2n)*(2n)}{(2-1)*(2+1)*(4-1)*(4+1)*..*(2n-1)(2n+1)}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{2} \frac{2*4*6*..*2n}{3*5*..*(2n-1)\sqrt{2n+1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2}{2n+1}} \frac{2^2 *4^2*..*(2n)^2}{(2n)!}= \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{n+1/2}} \frac{(n!)^2 *(2^2)^n}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

Du hast statt des Produktzeichens ein Summenzeichen gesetzt. Ansonsten stimmt die Rechnung. Gehe zuletzt zum Kehrwert über. Für $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ gilt jeweils:

$\begin{align*} \sqrt{n+ \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2^{2n}} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \to \frac{1}{\sqrt{\pi}} \end{align*}$

$\begin{align*} \sqrt{n+ \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2^{2n}} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \sqrt{\pi} \to 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \underbrace{\sqrt{\frac{n + \frac{1}{2}}{n}}}_{\to 1} \cdot \sqrt{n} \cdot \frac{1}{2^{2n}} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \sqrt{\pi} \to 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{2^{2n}} \cdot{{2n} \choose n} \cdot \sqrt{\pi n} \to 1 \end{align*}$

30.08.2015, 12:05

StrunzMagi

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Hallo Leopold,
Vielen Dank für deine Antwort.

Was machst du in der letzten Zeile - da ziehst du doch auch wieder den Grenzwert auseinander?
Wir haben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{ \frac{n+ 1/2}{n}} \sqrt{n} * \frac{1}{2^{2n}} * \frac{(2n)!}{(n!)^2} \sqrt {\pi} =1 \end{eqnarray*}$

Und nun setzt du: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{ \frac{n+ 1/2}{n}} \sqrt{n} * \frac{1}{2^{2n}} * \frac{(2n)!}{(n!)^2} \sqrt {\pi} = \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{ \frac{n+ 1/2}{n}} * \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{n} * \frac{1}{2^{2n}} * \frac{(2n)!}{(n!)^2} \sqrt {\pi} \end{eqnarray*}$

Dazu muss du doch wissen, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{n} * \frac{1}{2^{2n}} * \frac{(2n)!}{(n!)^2} \sqrt {\pi} \end{eqnarray*}$ existiert um den Limes auseinanderzuziehen??

LG,
MaGi

30.08.2015, 13:49

IfindU

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Du kannst ganz allgemein zeigen, dass falls $\begin{eqnarray*} a_n b_n \to c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n \to a \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} b_n \to \frac c a \end{eqnarray*}$ . Bzw. etwas anders formuliert ist es eine der ersten Aussagen, die man über Folgen in Analysis 1 zeigt (Quotienten konvergenter Folgen konvergieren, falls man nicht gerade durch 0 teilt).

30.08.2015, 14:08

Leopold

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Was IfindU erklärt hat, bedeutet hier konkret:

$\begin{align*} c_n = \underbrace{\sqrt{\frac{n + \frac{1}{2}}{n}}}_{a_n} \cdot \underbrace{\frac{1}{2^{2n}} \cdot {{2n} \choose n} \sqrt{\pi n}}_{b_n} \end{align*}$

Es ist bekannt: $\begin{align*} c_n \to 1 \, , \ a_n \to 1 \end{align*}$

Somit folgt: $\begin{align*} b_n = \frac{c_n}{a_n} \to \frac{1}{1} \end{align*}$

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