Taylorreihe finden mit Restgliedabschätzung

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Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe finden mit Restgliedabschätzung
Hallo Leute,

brächte nochmal kurz eine Kontrolle bzw. einen kleinen Denkanstoß.

Ich soll von der Funktion das Taylorpolynom 2ten Grades mit dem Wert (5/6) berechnen. Die Entwicklungsstelle ist 1. Dazu bin ich wie folgt vorgegangen:

1te Ableitung:

2te Ableitung:

Nun habe ich die Reihe bis zur 2ten Ableitung aufgestellt:





Das ist meine Lösung für das 2te Taylorpolynom. Jetzt setze ich da einfach (5/6) für x ein nehme ich an? Wenn ich das mache, bekomme ich für den Wert raus.

Kann sein, dass sich Fehler eingeschlichen haben, die merze ich selbstverständlich nachdem ihr mir das gesagt habt aus. Nun kommt aber mein eigentliches Problem, da ich das noch nie gemacht habe:

Ich soll durch eine Lagrange Abschätzung des Restgliedes nachweisen, dass gilt. Und das habe ich noch nie gemacht und keinerlei Ideen, wie ich da rangehen soll. Ich weiß, dass es eine Formel für das Restglied gibt. Aber wie ich da diese Bedingung mit "einbaue", weiß ich leider nicht.

Danke im Voraus smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe finden mit Restgliedabschätzung
Zitat:
Original von Seppelkoi
1te Ableitung:

Wenn ich das richtig sehe, ist die Ableitung schon falsch. smile
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

OH NEIN, die 1te Ableitung ist

traurig alles nochmal neu... Es hängt immer an so Kleinigkeiten Big Laugh Ich mach das nochmal neu, danke
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Was aber witzig ist, ist dass mit der von dir verbesserten Ableitung die Reihe am Ende genau gleich aussieht LOL Hammer

Wirklich beeindruckend, hätte ich nicht erwartet. Mein Endergebnis lässt sich noch mit 2 kürzen und es kommt somit (11/18) raus.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Was aber witzig ist, ist dass mit der von dir verbesserten Ableitung die Reihe am Ende genau gleich aussieht LOL Hammer

Hm. Bei mir hat f''(1) mit der korrekten Ableitung einen anderen Wert als mit der falschen Ableitung.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt aber:



So, da setze ich dann (5/6) ein und es müsste als Endergebnis dafür herauskommen. Kannst du mir zufälligerweise auch noch mit dem Restglied Problem helfen? Danke für deine Kontrolle bis hierher.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf . verwirrt
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ist meine oben geschriebene Reihe richtig? Ich gehe mal von Ja aus, weil du da nix dazu gesagt hast.
Irgendwie mangelt es mir an Konzentration heute... sorry.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Komme jetzt auch auf das Ergebnis von dir. Wie geht es nun weiter? Siehe meine Frage
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Abschätzung des Restgliedes brauchst du erstmal das Restglied als solches und somit die 3. Ableitung der Funktion.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das geht ja noch leicht:



Ich verstehe jetzt nur nicht, wie ich mit der Formel für das Restglied umgehen soll, da in der Aufgabe ja noch eine Bedingung eingebaut ist.

Wie bastle ich die Bedingung denn in meine Restglied Formel ein?

Stelle ich einfach das Restglied auf und anstatt zu sagen "Restglied ist gleich" sage ich dann "Restglied muss Bedingung erfüllen"?

Danke für deine Hilfe bisher smile
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ich das verstanden habe, muss ich nun erstmal den größten Wert berechnen, den die dritte Ableitung in dem Intervall (xe,x) annehmen kann, also (1,(5/6)).

Liege ich da richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja, aber du solltest das Intervall [5/6, 1] nehmen. Augenzwinkern
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun ein kleines Problem im Verständnis:

Die dritte Ableitung nimmt bei 1 einen größeren Wert an als bei 5/6, wenn man aber die Beträge betrachtet ist der Wert bei 5/6 größer 1. In der Restgliedformel sehe ich für den Maximalwert keine Betragsstriche.

Somit müsste in diesem Fall und nicht der größere bzw. größte Wert sein.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Hm. Kommt vielleicht darauf an, wo man hinschaut.
Hier https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-For...bsch.C3.A4tzung sehe ich Betragsstriche. smile
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke smile

Damit ist also der größte Wert.

Ich habe dann geschrieben:





Wenn das bis hierhin richtig ist, hätte ich ja aber nur die Fehlerabschätzung an sich durchgeführt. Wie es weiter geht habe ich keine Ahnung
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Ich habe dann geschrieben:



Müßte das nicht sein? verwirrt

Außerdem ist . Augenzwinkern
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich dachte ich nehme ja die dritte Ableitung, also und die "3" wäre quasi mein n, da ich das ja betrachte, deswegen habe ich "n+1=4" angenommen.


Aber ich mach es eben nochmal mit 3 smile
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

YAY! Vielen Dank,

Denn ich bekomme:





Und das ist ja genau der Wert, nach dem gefragt wird, also wird das richtig sein smile smile smile

Prost

Habe ich jetzt auch schon "automatisch" die Bedingung nachgewiesen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe finden mit Restgliedabschätzung
Hm. Wenn du mit "Bedingung" diese Ungleichung meinst:
Zitat:
Original von Seppelkoi
Ich soll durch eine Lagrange Abschätzung des Restgliedes nachweisen, dass gilt.

dann ist das mit deiner Rechnung gezeigt. Das Restglied ist doch gerade der Teil, der auf der linken Seite zwischen den Betragsstrichen steht.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das wusste ich eben nicht, deswegen meine Verwirrung smile Kann man das allgemein formulieren?

Also ist ?

Hab mich wie gesagt noch nie damit beschäftigt. Mein Prof benutzt hier für das Restglied also einfach eine andere Schreibweise.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Also ist ?

Das folgt doch aus der Darstellung von f(x) mittels der Taylorreihe:

Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank

Du hast mir wirklich sehr geholfen Prost
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