Kompakter metrischer Raum

28.08.2015, 14:26

Mimimi93

Kompakter metrischer Raum

Meine Frage:
Meine Frage: Sind die natürlichen Zahlen N mit der rellen Norm ein kompakter metrischer Raum?

Meine Ideen:
Was sagt ihr ?

28.08.2015, 14:36

10001000Nick1

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Gegenfrage: Was sagst du? Augenzwinkern

Der Raum ist kompakt, falls jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Überlege erstmal, was hier die offenen Mengen sind. Und dann solltest du auch eine Antwort auf deine Frage finden.

01.09.2015, 15:04

Mimimi93

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Danke für den Tipp.

Die natürlichen Zahlen sind bei [1,unendlich). Also ist unendlich meine offene Überdeckung und diese hat keine endliche Teilüberdeckung. Also ist er nicht kompakt. Daraus folg Aussage ist falsch!

Stimmt das?

01.09.2015, 15:15

10001000Nick1

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Was soll das heißen, die natürlichen Zahlen sind bei $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Eine offene Überdeckung ist eine Vereinigung von offenen Mengen. Das:

Zitat:

Original von Mimimi93
Also ist unendlich meine offene Überdeckung

ist also Unsinn.

01.09.2015, 15:26

Mimimi93

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Ok, dann muss ich nochmal überlegen Forum Kloppe

01.09.2015, 15:37

Mimimi93

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kann ich davon ausgehen, das kompakt <=>beschränkt+abgeschlossen, weil abgeschlossen sind die natürlichen zahlen nicht..
mein gedanke ist, das unendlich offen ist dann wäre doch (1,10),(10,unendlich) eine offene teilüberdeckung oder? oder könntest du mir vielleicht ein beispiel geben?

01.09.2015, 16:01

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Mimimi93
kann ich davon ausgehen, das kompakt <=>beschränkt+abgeschlossen, weil abgeschlossen sind die natürlichen zahlen nicht..

Das ist der Satz von Heine-Borel: Eine Teilmenge der reellen Zahlen (mit der euklidischen Metrik $\begin{eqnarray*} d_\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen sind aber abgeschlossen. Aber sie sind nicht beschränkt, also nicht kompakt.
Damit hast du deine Antwort. Augenzwinkern

(Eigentlich sind wir noch nicht ganz fertig, es fehlt noch eine kurze Bemerkung: In dem Satz von Heine-Borel betrachtet man Teilmengen von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},d_\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , d.h. man betrachtet $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ als Teilmenge dieses metrischen Raums. In deiner Frage ging es aber um den metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{N},d_\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} d_\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ die Einschränkung der euklidischen Metrik auf die natürlichen Zahlen ist. Es gibt aber noch einen Satz, der besagt: Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist genau dann kompakt, wenn diese Teilmenge als metrischer Raum betrachtet mit der eingeschränkten Metrik kompakt ist.
Korrekterweise müsste unser "Beweis" also so aussehen: $\begin{eqnarray*} \mathbb N\subseteq\mathbb R \text{ unbeschränkt }\Rightarrow \mathbb N\subseteq\mathbb R \text{ nicht kompakt }\Rightarrow (\mathbb N, d_\mathbb N )\text{ nicht kompakt } \end{eqnarray*}$ .
Ich hoffe, das klang jetzt nicht zu verwirrend. Augenzwinkern

)

Ich würde es trotzdem gern noch mit der Definition von Kompaktheit machen, denn mir scheint, dass du nicht so richtig weißt, was da zu tun ist.

Zitat:

Original von Mimimi93
mein gedanke ist, das unendlich offen ist dann wäre doch (1,10),(10,unendlich) eine offene teilüberdeckung oder? oder könntest du mir vielleicht ein beispiel geben?

Nochmal: Unendlich ist keine Menge, und kann deswegen nicht offen oder abgeschlossen sein.
Anscheinend ist dir noch nicht klar, was eine offene Überdeckung ist: $\begin{eqnarray*} (1,10)\cup(10,\infty) \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls keine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Schau dir nochmal an, was eine offene Überdeckung ist (im Internet findest du dazu genug Definitionen und Beispiele).
Um die Beantwortung der Frage, was in dem Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{N}, d_\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ die offenen Teilmengen sind, wirst du aber nicht drumherum kommen.

04.09.2015, 14:57

Mimimi93

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Danke für deine Antwort. ja da hast du recht. So ganz verstanden hab ich das noch ncht mit der offenen Überdeckung. Ich muss mich da jetzt noch schlau machen smile

Du hast mir aufjedefall sehr weiter geholfen. Danke!

Lg Mimi

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