Konvergenz einer Reihe

28.08.2015, 14:30

lule

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Hallo Leute,

es geht heute um folgende Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \left({\frac{n}{n+1} }\right) ^n \end{eqnarray*}$
Ich denke, dass sie divergiert, da $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist.

Nun weiß ich nicht wie ich dies aber am besten zeigen kann.

Meine Ideen:
Wurzel - und Quotientenkriterium klappen nicht besonders gut, bzw geben mir keine brauchbare Aussage.

Also möchte ich nun eine divergente Minorante ermitteln, aber genau da hapert es unglücklich

Ich wollte erst in Richtung der harmonischen Reihe abschätzen aber das bekomme ich nicht hin.

Ein kleiner Tipp wäre sehr willkommen smile

28.08.2015, 14:38

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von lule
Ich denke, dass sie divergiert, da $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist.

In der Tat. Was weißt du denn alles über die Zahl e ? smile

28.08.2015, 15:09

lule

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RE: Konvergenz einer Reihe
Ah, ich glaube ich hab da eine Idee, bitte korregiere mich wenn ich da gleich was falsch mache smile

Es gilt ja:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$
aber wieso genau gilt das ? Ich hab mich da gerade nur dran erinnert, weil es mal irgendwo stand.
Könntest du mir das mal erläutern ?

Okay aber erstmal weiter mit dem Beweis:
Dann gilt also

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \geq \frac{1}{e} > \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} n> 3 \end{eqnarray*}$
Und somit ist die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \left({\frac{n}{n+1} }\right) ^n \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} > \frac{1}{n}, n > 3 \end{eqnarray*}$
divergent.

Einigermaßen richtig so ?

28.08.2015, 15:53

lule

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RE: Konvergenz einer Reihe
Okay ich kann ers morgen Abend auf Antworten eingehen.
Also bitte nicht wundern und mir trotzdem einen Tipp da lassen smile

Danke

28.08.2015, 16:51

HAL 9000

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Mehrere Anmerkungen:

a) $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \geq \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ ist zwar richtig, folgt aber nicht allein aus der Grenzwertbeziehung, sondern aus anderen Betrachtungen.

b) Wieso die Abschätzung gegen $\begin{align*} \frac{1}{n} \end{align*}$ ? Die Grenzwertbeziehung sagt deutlich, dass $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ keine Nullfolge ist, was aber notwendige Voraussetzung für Reihenkonvergenz wäre. Also ist die Reihe divergent, Punkt.

Die Abschätzung gegen eine Nullfolge, deren Reihe divergent ist, kann man zwar so machen, wirkt aber im Hinblick auf die zu zeigende Reihendivergenz irgendwie überdreht umständlich. Augenzwinkern

30.08.2015, 17:55

lule

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So, zwar spät, aber besser als nie.

zu b) klar die abschätzung gegen die harmonsiche Reihe ist wirklich zu viel, hatte mich da vielleicht zu sehr drauf versteift.

zu a) Kann man $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \geq \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ nicht aus der Grenzwertbeziehung erkennen ? Bzw. welche anderen Betrachtungen meinst du ?

30.08.2015, 18:28

HAL 9000

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Was ich meine ist: Wieso soll aus $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n = a \end{align*}$ denn $\begin{align*} a_n\geq a \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ folgen??? I.a. stimmt das natürlich nicht, die Folge kann sich doch auch von unten oder auch von beiden Seiten (z.B. alternierend) dem Grenzwert nähern.

31.08.2015, 13:06

lule

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Ja das stimmt, man könnte doch aber z.B. zeigen, dass eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ (streng) monoton fallen ist und der Grenzwert $\begin{eqnarray*} g = \lim_{n \to \infty } a_n \end{eqnarray*}$ existiert und dann gilt doch auch $\begin{eqnarray*} a_n \geq g \end{eqnarray*}$ .

31.08.2015, 13:08

HAL 9000

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Genau, und das wäre dann sowas, was ich mit "aus anderen Betrachtungen" gemeint habe! Jedenfalls ist es nicht die Grenzwertbeziehung allein, aus der das folgt - und den Eindruck konnte man bei dir oben aber leider gewinnen.

01.09.2015, 15:07

lule

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Oh hatte ganz vergessen noch zu antworten.

Ja oben hatte ich auch nur "getippt" das es so sein müsste, dass sollte man eigentlich dann etwas besser behandeln.

Und danke für die Hilfe von allen smile

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