Doppelintegral

28.08.2015, 15:11

David.T89

Doppelintegral

Hi Leute,
bin mal wieder auf ein kleines Verständnisproblem beim Vorbereiten der Matheklausur gestoßen.

Die Aufgabenstellung lautet. Ein Quadrat in der x/y- Ebene wird durch die Koordinatenachsen sowie die beiden Geraden x=1 und y=1 begrenzt. Integrieren Sie die Funktion:

und zwar handelt sich dabei um das Doppelintegral von f(x,y) = $\begin{eqnarray*} x \cdot e \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ^{-xy} \end{eqnarray*}$

die Lösung vom Prof. lautet demnach:

$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \cdot e \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ^{-xy} \end{eqnarray*}$ dx dy

das ganze wird zuerst über y integriert:

$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \cdot e \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ^{-xy}dx dy \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{1} \end{eqnarray*}$ [-e $\begin{eqnarray*} ^{-xy} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ]^{1}_{y=0} \end{eqnarray*}$ dx = $\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \end{eqnarray*}$ ( -e $\begin{eqnarray*} ^{-x} +1 \end{eqnarray*}$ ) dx = [ $\begin{eqnarray*} e^{-x}+x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ]^{1}_{x=0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{-1}+1 \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} e^{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{-1}=0,3679... \end{eqnarray*}$

Jetzt zu den eigentlichen Fragen.
Bei der ersten Integration über y, woher kommt da das - vor dem e? Bei der darauffolgenden runden Klammer, woher kommt da das +1?

28.08.2015, 15:19

Mathema

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Zitat:

Bei der ersten Integration über y, woher kommt da das - vor dem e?

Von der Kettenregel bzw. dem Nachdifferenzieren.

Zitat:

Bei der darauffolgenden runden Klammer, woher kommt da das +1?

$\begin{eqnarray*} ...-(-e^{-x\cdot 0})=...-(-e^{0})=...-(-1)=...+1 \end{eqnarray*}$

Wink

28.08.2015, 15:44

David.T89

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Erstmal Danke für deine Antwort.

wenn ich das soweit richig verstanden habe. Beim Integrieren über y dann muss ich ja das x sozusagen runterholen, dann würde dort ja stehen x*-(1/x).. wodurch sich ja die x´se wegkürzen würden?

28.08.2015, 15:55

Mathema

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Jap - bei der Integration über y wird x ja als konstanter Faktor behandelt.

Es ist also:

$\begin{eqnarray*} \int xe^{-xy}dy=x \int e^{-xy}dy=x \cdot (\frac{-e^{-xy}}{x})=-e^{-xy} \end{eqnarray*}$

Wink

28.08.2015, 16:14

David.T89

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soweit so Gut. Beim nächsten Schritt setze ich die Grenzwert für y ein, also 0 und 1, und bilde denn die Differenz? womit ich dann zum Folgenden kommen würde?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -e^{-x*1} \end{eqnarray*}$ )-(- $\begin{eqnarray*} e^{x*0} \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} -e^{-x}+1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

28.08.2015, 16:19

Mathema

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Steht doch da:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \cdot e \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ^{-xy}dx dy \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{1} \end{eqnarray*}$ [-e $\begin{eqnarray*} ^{-xy} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ]^{1}_{y=0} \end{eqnarray*}$ dx = $\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{-e^{-x} +1} \end{eqnarray*}$ ) dx = [ $\begin{eqnarray*} e^{-x}+x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ]^{1}_{x=0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{-1}+1 \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} e^{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{-1}=0,3679... \end{eqnarray*}$

28.08.2015, 16:49

David.T89

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das schon, ich musste/ wollte es hier halt step bei step auseinander klamüsern, da die einzelschritte in der Lösung nicht stehen.

Ich danke dir vielmals für deine Hilfestellung

28.08.2015, 16:50

Mathema

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Gern geschehen.

Wink

28.08.2015, 23:43

David.T89

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Hi,
mir ist da doch noch etwas aufgefallen. Wenn ich im Papula nachschaue, dann wird dort beim integrieren über y hinten dy hingeschrieben. Wenn im besprochenen Bsp. zuerst über y Integriert wird, muss da nicht auch dy anstat dx stehen?

31.08.2015, 12:47

klauss

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Die Falschbeschriftung war mir am Freitag schon aufgefallen, hatte aber drauf verzichtet, die Korrektur nachzutragen. Auf Rückfrage nun aber:
Richtig ist hier $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} ... dydx \end{eqnarray*}$
Da die Integrationsgrenzen konstant (und identisch) sind, wäre die Reihenfolge theoretisch auch vertauschbar, aber das Integral $\begin{eqnarray*} dxdy \end{eqnarray*}$ wäre hier, so wie ich das grob probiert habe, wohl nicht elementar lösbar.

01.09.2015, 18:35

David.T89

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danke. Sowas sorgt natürlich am Anfang für verwirrung, wenn man noch keine routine hat.

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