gleichmäßgie konvergenz von glatten Funktionen in L^1

28.08.2015, 18:28	chriis	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßgie konvergenz von glatten Funktionen in L^1 Meine Frage: Hi, ich möchte das folgende zeigen(falls es überhaupt gilt...): Gegeben sei eine offene und beschränkte Menge $\begin{eqnarray} \Omega \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und eine Menge $\begin{eqnarray} M\subset C^\infty(\Omega) \end{eqnarray}$ von integrierbaren Funktionen und eine Konstante $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Vert \nabla f \Vert_{L^1(\Omega)} \leq c \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} f\in M \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} h\in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f\in M \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} (\Delta_h f)(x)=f(x+h) \end{eqnarray}$ , wobei wir $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ außerhalb von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ mit 0 fortsetzen. Dann gilt $\begin{eqnarray} \Vert \Delta_h f -f\Vert_{L^1(\Omega)}\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} h\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ gleichmäßig in $\begin{eqnarray} f\in M \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Meine Idee ist den Mittelwertsatz zu nutzen. Es gilt $\begin{eqnarray} \Vert \Delta_h f -f\Vert_{L^1(\Omega)}=\int_\Omega \vert f(x+h)-f(x)\vert dx\leq\vert h\vert \int_\Omega \vert \nabla f(\xi_x)\vert dx \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \xi_x \end{eqnarray}$ auf der Verbindungsstrecke von x und (x+h). Jetzt wäre ich fertig, wenn $\begin{eqnarray} \int_\Omega \vert \nabla f(\xi_x)\vert dx =\int_\Omega \vert \nabla f(x)\vert dx \end{eqnarray}$ gilt. Denn dann könnte ich das Integral gegen c abschätzen und die Behauptung würde sofort folgen. Aber geht das? Kann ich vielleicht den Trafosatz benutzen, um irgnedwie aus der zwischenstelle $\begin{eqnarray} \xi_x \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zu machen? Ich sehe das irgendwie nicht und würde mich über Hilfe freuen. Gruß, chris
28.08.2015, 19:23	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, was soll $\begin{eqnarray} \Vert \nabla f \Vert_{L^1(\Omega)} \end{eqnarray}$ bedeuten? Soll da wirklich die $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ -Norm stehen? Falls ja, wie ist die definiert, als Integral über die $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ -Norm des Gradienten? Die Aussage ist jedenfalls leider nicht richtig. Betrachte $\begin{eqnarray} \Omega := (0,1)\subset\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M=\{s\chi_{\Omega}~\vert~s\in\mathbb R\} \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \\|\Delta_h s\chi_{\Omega}-s\chi_{\Omega}\\|_{L^1(\Omega)} = \|hs\| \end{eqnarray}$ und das geht für $\begin{eqnarray} h\to 0 \end{eqnarray}$ nicht gleichmäßig in $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Anders sieht es evt. aus, wenn du $\begin{eqnarray} M\subset C_c^\infty(\Omega) \end{eqnarray}$ verlangst, allerdings stimmt es denke ich auch dann nicht, wenn ich die Norm oben richtig interpretiere. (Das habe ich mir aber noch nicht genau überlegt, könnte auch falsch liegen.) Edit: Betrag ergänzt.
28.08.2015, 20:28	chriis	Auf diesen Beitrag antworten »
ja sorry, das mit der Norm war nicht so ganz eindeutig. ich habe mir die notation irgendwie angewöhnt, sollte ich mir wieder abgewöhnen. Gemeint war das alle partiellen Ableitungen von f in $\begin{eqnarray} L^1(\Omega) \end{eqnarray}$ beschränkt sind. Also $\begin{eqnarray} \Vert \vert \nabla f\vert_1 \Vert_{L^1(\Omega)} \end{eqnarray}$ . Herzlichen Dank für das Gegenbeispiel, die Aussage ist so also tatsächlich gar nicht richtig.

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