Krümmungsverhalten Gebrochenrationale Funktion

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30.08.2015, 10:52	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmungsverhalten Gebrochenrationale Funktion Hallo ich sitze hier an einer Funktionsuntersuchung und soweit läuft auch alles ganz gut, lediglich beim Krümmungsverhalten (konvex, konkav) komme ich auf wirre Ergebnisse: Funktion: f = $\begin{eqnarray} \frac{x^3 - 8}{4x} \end{eqnarray}$ bildet ab von R auf R 2. Ableitung: f'' = $\begin{eqnarray} \frac{128x^4 - 1024x}{256x^4} \end{eqnarray}$ Nun bekanntlich für konvex: Überprüfen für welche Werte von x die Funktion f'' größer als Null ist, da der Nenner nicht negativ wird, muss man überprüfen für welche x der Zähler größer als Null wird. Und hier ist mein Problem: Ich komme mit dem x^4 und x nicht zurecht, natürlich weiß ich dass ich da auch noch kürzen kann aber das bringt mich auch nicht weiter... Wie der Graph von f aussieht, weiß ich, aber darauf komme ich nicht? Wie gehe ich bei soetwas vor? MfG
30.08.2015, 11:03	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
du solltest zunächst die zweite Ableitung vereinfachen. Dann ist zu berechnen - wie du richtig sagst - $\begin{eqnarray} f''(x)> 0 \end{eqnarray}$ für Konvexität. Dabei spielen aber Zähler und Nenner eine Rolle.
30.08.2015, 11:23	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, aus der zweiten ableitung kann ich machen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} - \frac{4}{x^3} \end{eqnarray}$ > 0 Oder $\begin{eqnarray} \frac{x^3 - 8}{2x^3} \end{eqnarray}$ > 0 Jetzt komme ich nicht weiter?!?
30.08.2015, 11:32	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
nehmen wir die erste Variante. Diese umgeformt ergibt $\begin{eqnarray} \frac 1 2 > \frac {4}{x^3} \end{eqnarray}$ . Das lässt sich ganz gut lösen.
30.08.2015, 11:53	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und dann habe ich: $\begin{eqnarray} x^3 > 8 \end{eqnarray}$ für x^3 > 0 und umgeformt zu x > 2 und $\begin{eqnarray} x^3 < 8 \end{eqnarray}$ für x^3 < 0 und umgeformt zu x < 2 Und diese Werte widersprechen dem Graphen...
30.08.2015, 12:00	Vercalct	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} x^3 < 0 \end{eqnarray}$ bedeutet doch x<0? Das Ergebnis aus der Ungleichung schränkt das dann nicht weiter ein. Also wenn ich die Funktion plotte, dann sieht sie für x<0 und x>2 konvex aus für mich.
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30.08.2015, 12:10	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
der erste Fall stimmt: x>2. Bei dem zweiten Fall der Fallunterscheidung entpricht x^3<0 gerade der Tatsache x<0. Damit hast du die bereiche, wo die Funktion konvex ist.
30.08.2015, 12:21	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, der erste Fall x>2 ist klar. Nur den zweiten verstehe ich gerade noch nicht ganz. Woher kommt man von der Tatsache x^3<8 auf x^3<0 und damit x<0 ?
30.08.2015, 12:26	Vercalct	Auf diesen Beitrag antworten »
Na Du nimmst doch die Ungleichung mal $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ , deshalb machst Du doch die Fallunterscheidung $\begin{eqnarray} x^3 < 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^3 >= 0 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x^3 < 0 \end{eqnarray}$ leitest Du Dir dann her, dass $\begin{eqnarray} x^3 < 2 \end{eqnarray}$ gelten muss. Das gilt natürlich für alle $\begin{eqnarray} x^3 < 0 \end{eqnarray}$ .
30.08.2015, 12:28	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einer Falliunterscheidung wird zwischen $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ unterschieden. Für $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ ist alles ok. Für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ erkennt man sofort, dass die rechte Seite der Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} > \frac{4}{x^3} \end{eqnarray}$ stets negativ ist. Damit ergibt sich als Umformung $\begin{eqnarray} x^3<8 \end{eqnarray}$ mit der Lösung $\begin{eqnarray} x<2 \end{eqnarray}$ . Da wir aber $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt haben, ergibt sich insgesamt $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ Edit @Vercalct Warum mischst du dich in diesen Thread ein? Lies bitte das Boardprinzip.
30.08.2015, 12:30	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah alles klar, vielen Dank!
30.08.2015, 12:59	Vercalct	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, dann bitte ich mein Einmischen aufgrund Unerfahrenheit zu entschuldigen, es geschah mit besten Absichten.
30.08.2015, 13:02	Vercalct	Auf diesen Beitrag antworten »
Und den offensichtlichen Fehler "x^3 < 2" kann ich leider gar nicht mehr editieren. In der Schreibweise muss da natürlich 8 statt der 2 stehen.

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