Varianzfortpflanzung und Kovarianzmatrix

30.08.2015, 15:08	jayer	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianzfortpflanzung und Kovarianzmatrix Hi, ich sitze seit gestern vor einer Übung und finde einfach keinen Ansatz. Hoffe es kann mir hier einer helfen: $\begin{eqnarray} f(d,z,r)=\begin{pmatrix} Y \\ X \\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} dsin(r)sin(z) \\ dcos(r)sin(z) \\ dcos(z) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei einer 3D-Punktbestimmung mit einem Tachymeter werden aus den drei polaren Messelementen Raumstrecke d, Zenitwinkel z und Horizontalrichtung r kartesische Koordinaten Y,X und Z im lokalen Koordinatensystem berechnet. Der Hersteller gibt als Standardabweichung für die einzelnen Messelemente d = 5mm, z=1mgon, r=1mgon an. Die Messelemente können als unkorreliert betrachtet werden. 1. Berechnen Sie mittel Varianzfortpflanzung die Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray} \sum\limits_{}^{} \end{eqnarray}$ xx der räumlichen Punktlage für die Messelemente d=80m, r=70gon, z=60gon. Geben Sie die Standardabweichung der drei Koordinaten sowie die Korrelation zwischen den einzelnen Koordinaten an. 2. Berechnen Sie aus den Koordinaten Y, X und Z die Raumstrecke zwischen Zielpunkt und Tachymeter sowie deren Standardabweichung, Verwenden Sie hierzu die vollständige Kovarianzmatrix der räumlichen Punktlage aus Aufgabenteil 1. Berechnet habe ich bis jetzt: AKovarianzmatrixA^T. Das habe ich so in meinen Unterlagen gefunden. A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 57,66 \\ 29,38 \\ 47,02 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kovarianzmatrix= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,005^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0,001^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0,001^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Hier bekomm ich nen Wert von 0,083138 raus. Allerdings weiß ich weder was das für ein Wert sein soll, noch ob die vorherigen Rechnungen überhaupt richtig sind. Hoffe mir kann da einer helfen. Grüße
31.08.2015, 11:12	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianzfortpflanzung und Kovarianzmatrix Du hast die Kovarianzmatrix der Messgrößen $\begin{eqnarray} d, r, z \end{eqnarray}$ hingeschrieben. Gesucht ist aber die Kovarianzmatrix der daraus berechneten $\begin{eqnarray} X, Y, Z \end{eqnarray}$ . Diese hat auch außerhalb der Diagonale von Null verschiedene Einträge.Ohne jede Kenntnis eventueller spezieller Verfahren dafür aus der Messtechnik würde ich das so angehen: Zunächst werden die Transformationsgleichungen um den Messpunkt herum linearisiert. Die linearisierten Gleichungen haben die Form: $\begin{eqnarray} X=X_0+a_1\Delta d +a_2\Delta r +a_3 \Delta z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y=Y_0+b_1\Delta d +b_2\Delta r +b_3 \Delta z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z=Z_0+c_1\Delta d +c_2\Delta r +c_3 \Delta z \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \Delta d = d-d_0 \end{eqnarray}$ usw. Der Index $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ steht für den Messwert oder den aus den Messwerten berechneten Wert. Die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} c_3 \end{eqnarray}$ ergeben sich durch Ableiten. Bevor man mit konkreten Zahlen rechnet, sollte man die sich aus der Linearisierung ergebenden Kovarianzen erstmal formelmäßig hinschreiben.

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