[Mengenlehre] Bedingung für Menge ausdrücken

30.08.2015, 15:40

Ungelehrter

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[Mengenlehre] Bedingung für Menge ausdrücken

Hallo,

Ich habe eine allgemeine Menge $\begin{eqnarray*} M := \{A_1, ..., A_n\} \end{eqnarray*}$ deren Anzahl von Elementen nicht klar definiert ist.
Nun möchte ich unter einer Bedingung eine echte Teilmenge davon bilden.

$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ soll nur eine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sein, wenn die Anzahl der Elemente in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ größer gleich 2 sind. Weiterhin darf $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nicht leer sein. Wie drücke ich das aus?

$\begin{eqnarray*} N := \{x \mid \exists x \land x \in M \land y \in M \land y \notin N \land |M| \ge 2 \} \end{eqnarray*}$

30.08.2015, 15:49

wopi

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RE: [Mengenlehre] Bedingung für Menge ausdrücken
z.B. N = { $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ } ist eine solche Teilmenge.

EDIT: Allgemein kannst du N={...} wohl nicht formulieren, weil in den Mengenklammern immer EINE bestimmte Menge stehen muss.

30.08.2015, 16:10

wopi

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RE: [Mengenlehre] Bedingung für Menge ausdrücken
EDIT: gelöscht

30.08.2015, 16:40

Ungelehrter

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RE: [Mengenlehre] Bedingung für Menge ausdrücken

Zitat:

Original von wopi
z.B. N = { $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ } ist eine solche Teilmenge.

Das weiß ich. Ich wollte wissen, ob meine Definition

$\begin{eqnarray*} N := \{x \mid \exists x \land x \in M \land y \in M \land y \notin N \land |M| \ge 2 \} \end{eqnarray*}$

richtig ist. Ich bin mir nicht sicher, ob man Beträge von fremden Mengen einfach so mit in die Definition reinpacken darf.

30.08.2015, 16:45

wopi

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RE: [Mengenlehre] Bedingung für Menge ausdrücken
habs vor einer Sekunde oben editiert:

Allgemein kannst du N={...} wohl nicht formulieren, weil in den Mengenklammern immer EINE

eindeutig bestimmte Menge stehen muss.

30.08.2015, 18:23

Elvis

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Wie wäre es mit folgendem Versuch: $\begin{eqnarray*} |M|\ge 2\Rightarrow N:=P(M)\backslash \{\emptyset,M\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ ist die "Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ", das ist die Menge aller Teilmengen von $\begin{eqnarray*} M=\{A_1,...,A_n\} \end{eqnarray*}$ .

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30.08.2015, 18:28

wopi

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Damit wäre N aber keine Teilmenge von M, was der FS eigentlich haben wollte,

aber immerhin die Menge aller möglichen Teilmengen der geforderten Art.

Anders geht' s wohl auch nicht (vgl. oben)

30.08.2015, 18:47

Elvis

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Eine Teilmenge auszuwählen ist leicht: $\begin{eqnarray*} M=\{A_1,...,A_n\},n\ge 2\Rightarrow N_1:=\{A_1\} \end{eqnarray*}$

30.08.2015, 18:57

wopi

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@Elvis: Hatten wir schon, vergleiche meinen ersten Post :-)

Wink

Wink

30.08.2015, 19:59

Elvis

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Na, so ein Zufall. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schön, dass wir uns einig sind. Prost

Prost

30.08.2015, 20:08

IfindU

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Das mit der Teilmenge kann man ja leicht reparieren, indem man
$\begin{eqnarray*} |M|\ge 2\Rightarrow N \in P(M)\backslash \{\emptyset,M\} \end{eqnarray*}$
schreibt. Alternativ dazu dann natürlich $\begin{eqnarray*} |M | \geq 2 \implies \emptyset \subsetneq N \subsetneq M \end{eqnarray*}$ .

Zu der Definition des Aufgabenstellers
$\begin{eqnarray*} N := \{x \mid \exists x \land x \in M \land y \in M \land y \notin N \land |M| \ge 2 \} \end{eqnarray*}$ :
Allgemein kannst du was du willst nicht per $\begin{eqnarray*} N := \{ x | \ldots \} \end{eqnarray*}$ erzielen, egal was die Punkte sind. Die Menge enthält nämlich die Elemente x, so dass die Pünktchen-Bedingung erfüllt ist. Das ist eine Bedingung, die unabhängig für alle möglichen Werte von x durchprobiert wird. Und du kannst dich nicht auf die Menge N beziehen, da du diese erst definierst.

Es ist die Frage, ob du wirklich eine "logische" Formulierung der Aussage brauchst, oder du es nur formulieren willst und einen kurzen deutschen Satz "unsauber" findest.

30.08.2015, 23:32

Ungelehrter

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Zitat:

Original von IfindU
Das mit der Teilmenge kann man ja leicht reparieren, indem man
$\begin{eqnarray*} |M|\ge 2\Rightarrow N \in P(M)\backslash \{\emptyset,M\} \end{eqnarray*}$

Deine logische Formel -- auf Basis von Elvis seiner -- finde ich schon ziemlich umwerfend und noch besser als meine:
$\begin{eqnarray*} |M|\ge 2\Rightarrow N \subset M \land N \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von IfindU
Es ist die Frage, ob du wirklich eine "logische" Formulierung der Aussage brauchst, ...

"Brauchen" nicht, aber "Wollen", ja.

30.08.2015, 23:40

Guppi12

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Zitat:

"Brauchen" nicht, aber "Wollen", ja.

Nun, die hast du ja jetzt. Es ist aber ein (besonders unter Einsteigern der Mathematik verbreiteter) Irrtum, dass man alles in Formeln aufschreiben müsste, damit es formal korrekt ist. An der folgenden Formulierung

Falls $\begin{eqnarray*} |M|\geq 2 \end{eqnarray*}$ , so sei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine echte, nichtleere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

wäre zum Beispiel auch aus formaler Sicht überhaupt nichts auszusetzen und so würde man es auch in jedem Buch oder Paper finden, dort wird nicht mit Formeln um sich geschmissen Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.08.2015, 07:38

Ungelehrter

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Zitat:

Original von Guppi12
An der folgenden Formulierung
Falls $\begin{eqnarray*} |M|\geq 2 \end{eqnarray*}$ , so sei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine echte, nichtleere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .
wäre zum Beispiel auch aus formaler Sicht überhaupt nichts auszusetzen ...

Ursprünglich hatte ich es semantisch so zu stehen, lediglich die Teilsätze vertauscht.

Zitat:

Original von Guppi12
Nun, die hast du ja jetzt. Es ist aber ein (besonders unter Einsteigern der Mathematik verbreiteter) Irrtum, dass man alles in Formeln aufschreiben müsste, damit es formal korrekt ist.

Es kann nie schaden, sich damit zu beschäftigen. ;-)

Eine Editierfunktion, um den Titel des Themas auf "gelöst" zusetzen, gibt es wohl nicht?

31.08.2015, 18:39

Ungelehrter

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Sagt mal ...

$\begin{eqnarray*} |M| \ge 2 \Rightarrow N \in P(M) \backslash \{\emptyset, M\} \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass die von mir verlangte Bedingung $\begin{eqnarray*} |M| \ge 2 \end{eqnarray*}$ in Bezug auf die Implikation totaler Schwachsinn ist, bzw. weggelassen werden kann?

Angenommen $\begin{eqnarray*} |M| = 1 \end{eqnarray*}$ , konkret $\begin{eqnarray*} M = \{m\} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt doch:

$\begin{eqnarray*} M = \{m\} \rightarrow P(M) = \{\emptyset, M\} \end{eqnarray*}$

Dann wäre also die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ weniger $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und der leeren Menge selbst die leere Menge, siehe:

$\begin{eqnarray*} P(M) \backslash \{\emptyset, M\} = \emptyset \end{eqnarray*}$

Da die leere Menge keine Elemente hat, wäre die Ursprüngliche Aussage, siehe oberste Formel in diesem Beitrag, nicht war oder?

$\begin{eqnarray*} N \in \emptyset \end{eqnarray*}$

31.08.2015, 19:06

Elvis

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Das hast Du genau richtig erkannt.

$\begin{eqnarray*} (|M|\ge 2\Rightarrow N\in P(M)\backslash \{\emptyset,M\})\Leftrightarrow(N\in P(M)\backslash \{\emptyset,M\}) \end{eqnarray*}$

31.08.2015, 19:45

Ungelehrter

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Zitat:

Original von Elvis
Das hast Du genau richtig erkannt.

$\begin{eqnarray*} (|M|\ge 2\Rightarrow N\in P(M)\backslash \{\emptyset,M\})\Leftrightarrow(N\in P(M)\backslash \{\emptyset,M\}) \end{eqnarray*}$

Au weia, jetzt wird es interessant. Ich bin verwirrt ... .

Oder kann es sein, dass die Bedingung $\begin{eqnarray*} |M|\ge 2 \end{eqnarray*}$ sogar dringend notwendig ist, da die Aussage

$\begin{eqnarray*} N\in P(M)\backslash \{\emptyset,M\} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} |M| \leq 1 \end{eqnarray*}$ nicht stimmen würde, bzw. falsch wäre?

unglücklich

unglücklich

31.08.2015, 20:02

Elvis

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Das passt schon. Für |M|<2 ist N in beiden Fällen nicht definiert. Genauer: 1. nicht definiert. 2. es gibt kein Element der leeren Menge. Also sind beide Aussagen gleichwertig, sie beschreiben exakt dieselben Mengen N als Elemente der Potenzmenge von M.

31.08.2015, 22:07

Guppi12

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Ich sehe hier generell noch ein Problem mit der Verständlichkeit. Wenn ich einen Text lesen würde, wo etwa $\begin{eqnarray*} N\in P(M)\backslash \{\emptyset,M\} \end{eqnarray*}$ drin steht, würde ich mich fragen, was denn nun sein, wenn $\begin{eqnarray*} |M|\geq 2 \end{eqnarray*}$ nicht gilt. Wird dann $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ garnicht gewählt oder was passiert dann? Falls dazu nichts im Text steht und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ später noch irgendwo verwendet wird, ist das natürlich ein klarer Fehler.

01.09.2015, 11:24

Elvis

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Ja, das stimmt auch. Die korrekte und vollständige Formulierung sieht dann wohl so aus:

$\begin{eqnarray*} |M|\ge 2 \wedge N\in P(M)\backslash \{\emptyset,M\} \end{eqnarray*}$ . In Worten: Die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalte mindestens 2 Elemente, und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sei eine nichtleere echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

01.09.2015, 12:22

Ungelehrter

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Ist

$\begin{eqnarray*} (N \in P(M) \backslash \{\emptyset, M\}) \mid |M| \ge 2 \end{eqnarray*}$

ebenfalls richtig geschrieben?

01.09.2015, 18:40

Ungelehrter

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$\begin{eqnarray*} N\in P(M)\backslash \{\emptyset,M\} \end{eqnarray*}$

Ich denke, ich habe herausgefunden, wie ich das in Mengendefinitonsschreibweise ausdrücke.

$\begin{eqnarray*} N := \{ e_1, ..., e_n \mid e_1 \in M, ..., e_n \in M \land e_1 \neq ... \neq e_n \land 1 \leq n < |M| \} \end{eqnarray*}$

01.09.2015, 19:06

Elvis

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Das finde ich nicht so gut. Du schreibst " $\begin{eqnarray*} N:= \end{eqnarray*}$ ", damit möchtest Du eine Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ definieren. Auf der rechten Seite steht dann aber nicht eine wohldefinierte Menge. Ausserdem ist nach dieser Möchtegerndefinition $\begin{eqnarray*} n=|N|=|M|<|M|=n \end{eqnarray*}$ , was gar nicht möglich ist. Du musst Dein "Sprachproblem" überwinden, das anscheinend daraus besteht, dass Du eine stark eingeschränkte Mengendefinition bevorzugst. Eine Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ muss nicht durch $\begin{eqnarray*} X:=\{x|(E(x)\} \end{eqnarray*}$ definiert werden. Eine Familie von Mengen kann nicht so definiert werden, denn das läuft auf "viele Mengen":="eine Menge" hinaus.

05.09.2015, 16:16

Ungelehrter

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@Elvis
Ja, ... du hast absolut Recht! Es braucht einfach noch ein bisschen, biss ich das verinnerlicht habe. Ich danke dir und Guppi12 ganz herzlich. Ihr habt mir mit eurem Wissen schon gut weiter geholfen. Hat mich mal wieder sehr gefreut. :-)

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