Matrizengleichung lösen

30.08.2015, 23:11

jockijo

Matrizengleichung lösen

Hallo,
ich stehe vor folgendem Problem: Ich möchte die Matrizengleichung

$\begin{eqnarray*} A-BA^{T}C=D \end{eqnarray*}$

nach A auflösen. Da allerdings einmal A transponiert und einmal nicht transponiert vorliegt, weiss ich nicht, was ich tun soll. Wollte zuerst A ausklammern, aber das bringt mich auch nicht weiter.

A,B,C und D sind jeweils 2x2 Matrizen.

Hoffe, jemand hat eine Idee, denn mir fällt nichts mehr ein.

31.08.2015, 08:54

Elvis

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$\begin{eqnarray*} A=BA^TC+D \end{eqnarray*}$ ... Gleichung nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aufgelöst. smile

31.08.2015, 09:27

HAL 9000

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Womit haben wir es letzten Endes zu tun: Es wird ein 4x4-LGLS für die $\begin{align*} 2^2=4 \end{align*}$ Matrixelemente von $\begin{align*} A \end{align*}$ werden.

Ist jetzt die Frage, ob man das irgendwie elegant in Matrizenschreibweise unter Einbau der gegebenen $\begin{align*} B,C,D \end{align*}$ hinkriegt, oder eben doch "zu Fuß". Augenzwinkern

31.08.2015, 11:40

jockijo

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} A=BA^TC+D \end{eqnarray*}$ ... Gleichung nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aufgelöst. smile

Hab mich wohl bisschen blöd ausgedrückt: Ich möchte, dass dort steht A=F steht, wobei F nicht von dem transponierten A abhängt, sondern nur von B, C und D. Weist du was ich mein?

31.08.2015, 13:18

HAL 9000

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Nun, wie ich geschrieben hatte: Man bekommt "zu Fuß" das lineare Gleichungssystem

$\begin{align*} \left( E_4 - \begin{pmatrix} b_{11}c_{11} & b_{12}c_{11} & b_{11}c_{21} & b_{12}c_{21} \\ b_{11}c_{12} & b_{12}c_{12} & b_{11}c_{22} & b_{12}c_{22} \\ b_{21}c_{11} & b_{22}c_{11} & b_{21}c_{21} & b_{22}c_{21} \\ b_{21}c_{12} & b_{22}c_{12} & b_{21}c_{22} & b_{22}c_{22}\end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{21} \\ a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_{11} \\ d_{12} \\ d_{21} \\ d_{22} \end{pmatrix} \end{align*}$ ,

jetzt kannst du dich noch drum bemühen, wie man das "schön" mit B,C,D schreiben kann, aber inhaltlich ist es nun mal das, was passiert.

31.08.2015, 14:16

Elvis

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Zitat:

Weißt du was ich mein?

Ja. Dafür ist die Lösung $\begin{eqnarray*} A=A \end{eqnarray*}$ , denn dies ist unabhängig von $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

31.08.2015, 20:44

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Ich sehe auch nicht, wie sich die Sache vereinfachen würde, wenn $\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$ wäre.

Wenn das die Sache vereinfachen würde, könntest du aus $\begin{eqnarray*} A-BA^{T}C=D \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} A^T= C^TAB^{T}+D^T \end{eqnarray*}$ und dann
$\begin{eqnarray*} BA^TC= BC^TAB^{T}C+BD^TC \end{eqnarray*}$ folgern und das in die Ausgangsgleichung einsetzen und hättest
$\begin{eqnarray*} A-\tilde{B}A\tilde{C}=\tilde{D} \end{eqnarray*}$

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