Wahrscheinlichkeit berechnen

31.08.2015, 10:59	Lewis123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit berechnen Meine Frage: Hi, ich hoffe, dass Ihr mir weiterhelfen könnt. Ich sitze vor volgender Aufgabe. Ich weiss von der Zufallsvariable $\begin{eqnarray} Y_j= \end{eqnarray}$ , dass sie $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ -verteilt ist. Nun muss ich folgendes zeigen: $\begin{eqnarray} P\left( \max_{1 \leq j \leq p} \|Y_j\| > \sqrt{r^2+2 log(p)}\right)\leq 2p \exp{ \left( - \frac{r^2+2 log(p)}{2}\right) } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß, dass es irgendetwas mit der gaußsche Fehlerfunktion zu tun hat. Aber ich komme einfach nicht auf diese Schranke. Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. LG
31.08.2015, 13:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, zunächst benötigt man noch die Unabhängigkeit der $\begin{align} Y_j \end{align}$ (die vermutlich auch noch vorausgesetzt wird). Dann ist $\begin{align} P\left( \max_{1 \leq j \leq p} \|Y_j\| > \sqrt{r^2+2\log(p)}\right) = 1-P\left( \max_{1 \leq j \leq p} \|Y_j\| \leq \sqrt{r^2+2\log(p)}\right) = 1-\prod_{j=1}^p P\left( \|Y_j\| \leq \sqrt{r^2+2\log(p)}\right) = 1-\left(2\Phi\left(\sqrt{r^2+2\log(p)}\right)-1\right)^p \end{align}$ . Tja, da könnte man jetzt abschätzen (wobei man insbesondere für große $\begin{align} r \end{align}$ nicht viel verschenkt). $\begin{align} \ldots \leq 2p\left(1-\Phi\left(\sqrt{r^2+2\log(p)}\right)\right) \end{align}$ . Für den Rest scheint man noch für $\begin{align} t>0 \end{align}$ die Abschätzung $\begin{align} 1-\Phi(t) \leq \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) \end{align}$ zu benutzen. EDIT (7.9.): Und noch so eine Eintagsfliege - schwirrt vorbei und ward nie wieder gesehen...
18.09.2015, 13:35	Lewis123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön. Das hast mir weitergeholfen LG

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