Varianz einer symmetrischen Zufallsvariablen

31.08.2015, 16:28

Student22

Varianz einer symmetrischen Zufallsvariablen

Halli hallo,
Meine Frage bezieht sich auf die Varianz einer symmetrischen Zufallsvariablen dessen Dichtefunktion folgende Eigenschaften erfüllt:
i) $\begin{eqnarray*} \int \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \forall x \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ ist ja klar wegen der Symmetrie um den Nullpunkt

Ich will zeigen, dass die Varianz endlich ist. Ist das überhaupt immer der Fall ? intuitiv würde ich sagen ja aber ich bin nicht sicher.

Meine Idee bisher: (das Integral für die Varianz 2 mal partiell integrieren)
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! x^2 f(x) \, dx = [x^2 F(x) ]_{-\infty}^{\infty} - [2xF(x)]_{-\infty}^{\infty} + 2\int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, dx = [x^2 F(x) ]_{-\infty}^{\infty} - [2xF(x)]_{-\infty}^{\infty} +2 \end{eqnarray*}$

Was mache ich jetzt mit meinen ersten beiden Summanden ?
Wenn ich $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ einsetze kommt ja, da F(x) eine Verteilungsfunktion ist, 0 raus aber was ist mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?

viele Grüße und Danke für die Zeit und Hilfe smile

ein dankbarer Student

31.08.2015, 16:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Student22
Ich will zeigen, dass die Varianz endlich ist. Ist das überhaupt immer der Fall ?

Nein.

Gegenbeispiel: $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{(|x|+1)^3} \end{align*}$

Beim ebenfalls symmetrischen Beispiel $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{2(|x|+1)^2} \end{align*}$ existiert noch nicht mal der Erwartungswert. Dass jener bei einer symmetrischen Dichte immer 0 ist, ist auch ein beliebter Fehlschluss.

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