Empirische charakteristische Funktion nicht im Betrag integrierbar

31.08.2015, 17:06

Student22

Empirische charakteristische Funktion nicht im Betrag integrierbar

Halli Hallo,
ich hätte noch eine kleine Frage mit der ich nicht wirklich vorran komme und mich über nette Hinweise oder Hilfestellungen freuen würde smile

Und zwar geht es darum, dass ich zeigen will, dass die empirische charakteristische Funktion nicht im Betrag intbar ist.
Sein $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ iid Zufallsvariablen dann gelit für die empirische cahrakteristische Funktion:
$\begin{eqnarray*} \bar{\varphi_n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e^{itX_i} \end{eqnarray*}$

Ich möchte nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \bar{\varphi_n} \end{eqnarray*}$ nicht die Bedingungen für eine Rückführung zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte durch
( $\begin{eqnarray*} f_{X}(x)=\frac{1}{2\pi}\cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\cdot\varphi_{X}(t)dt \end{eqnarray*}$ )
erfüllt. Also
$\begin{eqnarray*} \int\left|\bar{\varphi}_{n}\right|dt<\infty \end{eqnarray*}$
nicht immer gilt, also das Intergral nicht existiert.

meine Idee bisher:
$\begin{eqnarray*} \int\left|\bar{\varphi}_{n}\right|dt=\int\left|\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n e^{itX_j}\right|dt=\int\frac{1}{n} \left|\sum_{j=1}^n \cos(tX_j)+i\sin(tX_j)\right|dt \end{eqnarray*}$
Für den Fall n= 1 ist habe ich es über die Eigenschaften von Sinus und Cosinus argumentiert aber für den Fall n>1 habe ich keine Idee wie ich an die Sache ran gehen soll.
Wenn ich den Betrag in die Summe ziehe, bekomme ich durch die Dreiecksungleichung zwar eine Abschätzung allerdings in die falsche Richtung.

Reicht es wenn ich mit n=1 ein Gegenbeispiel gefunden habe?
Ich würde es gerne für einen beliebigen Stichprobenumfang zeigen und die Argumentation, dass der empirischen charakteristischen Funktion eine diskrete Dichte zugrunde liegt und sie deshalb nicht auf eine stetige zurückgeführt werden kann befriedigt mich auch nicht zu 100% unglücklich

.

Viele Grüße und vielen Dank für alle Hinweise und Hilfestellungen smile

ein dankbarer Student

31.08.2015, 17:18

HAL 9000

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"Empirische charakteristische Funktion" höre ich zum ersten mal, hmmm:

So wie du das definiert hast, ist das offenbar eine Zufallsgröße - oder fehlt da ein Erwartungswertoperator? Wohl nicht, denn dann wäre ja einfach

$\begin{align*} E\left( \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n e^{itX_j} \right) = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n E\left( e^{itX_j} \right) = E\left( e^{itX_1} \right) = \varphi_{X_1}(t) \end{align*}$ .

Aber wie willst du überhaupt diese Zufallsgröße in eine (nichtzufällige) Dichtefunktion rücktransformieren, das ist mir nicht ganz klar. verwirrt

Oder sprichst du jetzt erstmal nur von Realisierungen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \bar{\varphi_n}(\cdot,\omega) \end{eqnarray*}$

für feste $\begin{align*} \omega \end{align*}$ ?

31.08.2015, 17:51

Student22

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Die empirische charakteriste Funktion ist die charakteristische Funktion der empirischen Verteilungsfunktion:
$\begin{eqnarray*} \bar{F_n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \delta_{X_i}((-\infty,x]) \end{eqnarray*}$

und ist ist ein Schätzer für die tatsächliche charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi_x \end{eqnarray*}$ .
Die Definition ist so schon richtig, mit dem Erwartungswertopterator würde ja nur die Erwartungstreue nachgewiesen werden.

Mein eigentliches Ziel ist es einen Dichteschätzer zu entwickeln auf Basis der empirischen charakteristischen Funktion.
Ich habe $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ iid. gegeben.
Es läuft quasi darauf hinaus, dass ich zeigen muss, dass die charakteristische Funktion der empirischen Verteilungsfunktion die Voraussetzung ( $\begin{eqnarray*} \int\left|\varphi_n\right| dt < \infty \end{eqnarray*}$ ) dieser Transformation nicht erfüllt. verwirrt

Um dann die empirische Verteilung abzuändern zu einem Kerndichteschätzer, dessen charakteristische Funktion diese Vorraussetzungen dann erfüllt. (das habe ich aber schon)

31.08.2015, 18:54

HAL 9000

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Irgendwie wundert mich das: Die charakteristische Funktion einer unabhängigen Summe von Zufallsgrößen ist doch eigentlich das Produkt der zugehörigen einzelnen charakteristischen Funktionen

Insofern verstehe ich nicht, wie das hier

Zitat:

Original von Student22
Die empirische charakteriste Funktion ist die charakteristische Funktion der empirischen Verteilungsfunktion:
$\begin{eqnarray*} \bar{F_n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \delta_{X_i}((-\infty,x]) \end{eqnarray*}$

stimmen soll. unglücklich

EDIT: Ach, vergiss es.

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