Periodische stetige Funktion, Max/Min

31.08.2015, 17:11	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Periodische stetige Funktion, Max/Min Meine Frage: Hallo Leute, beim Beweis des Vierscheitelsatzes (Differentialgeometrie) steht folgender Satz. "Da die Krümmung Kappa stetig ist, nimmt sie auf [0,L] ihr Max und Min an. Dies liefert uns bereits 2 Scheitel". So, dass die Krümmungsfunktion auf diesem Intervall ihr Max und Min annimmt, ist mir selbst auch klar; [0,L] ist ein kompaktes Intervall, das lernt man ja in Analysis1 spätestens. Nun heißt es aber im Vierscheitelsatz, dass die Kurve (mit gewissen Eigenschaften) mind. 4 Scheitel in $\begin{eqnarray} [0,L) \end{eqnarray}$ hat. Dieses Intervall ist aber nicht kompakt, also kann ich auch den Satz nicht anwenden. Ich habe dann mal in der Literatur nachgeschaut, die zur Vorlesung gegeben wurde. Das war unteranderem C. Bär Differentialgeometrie. Dort steht: "Die Krümmung von c nimmt wegen der Periodizität sein Maximum und sein Minimum an, was uns bereits zwei Scheitel liefert." Auf diese Idee wäre ich jetzt nicht gleich gekommen. Daher wollte ich kurz fragen, ob da ein allgemein gültiger Gedanke dahinter steckt. Meine Ideen: Also die Kurve $\begin{eqnarray} c:I \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist periodisch, deshalb natürlich auch die Krümmungsfunktion. Also: $\begin{eqnarray} \kappa(t) = \kappa(t+L) \end{eqnarray}$ und dazu ist $\begin{eqnarray} \kappa : I \to \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig. Nimmt diese Funktion nun ihr Max und Min an? Also zunächst kann ja $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ wegen der Periodizität nicht ständig steigen oder ständig fallen. Wenn $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ konstant wäre, dann habe ich sowieso unendlich viele Scheitel und wäre gleich fertig. Also kann ich annehmen, dass $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ nicht konstant ist. Also muss $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ sowohl fallen als auch steigen, auf gewissen Teilmengen von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ . Also hat die Ableitung von $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ dort sicher einen Vorzeichen Wechsel. Der einfachste Fall sieht für mich so aus, als würde die Krümmung zum Beispiel auf der erste Hälfe des Intervalls $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ steigen und auf der zweiten Hälfte fallen. Dann habe ich ein Vorzeichenwechseln der Ableitung in der Mitte des Intervalls. Der zweite Scheitel liegt dann am linken Rand. Am rechten Rand ist das Intervall offen, da brauche ich also nicht zu suchen.. Naja also vielleicht nochmal generell die Frage. Eine Funktion $\begin{eqnarray} f: [0,L) \to \mathbb R \end{eqnarray}$ sei periodisch. Also $\begin{eqnarray} f(x+L) = f(x) \end{eqnarray}$ . Nimmt diese Funktion dann ihr Max und Min an? Danke für die Hilfe
31.08.2015, 18:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische stetige Funktion, Max/Min Wenn ich das richtig sehe, kannst du doch $\begin{eqnarray} \kappa: [0, L) \to \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig durch $\begin{eqnarray} \kappa(L) := \kappa(0) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,L] \end{eqnarray}$ fortsetzen. Damit bist du auf einer kompakten Menge. Damit haben wir 2 Scheitel in $\begin{eqnarray} [0, L] \end{eqnarray}$ . Damit hat man in $\begin{eqnarray} [0, L) \end{eqnarray}$ schon einmal einen, a priori nicht 2, da einer in L liegen kann. Angenommen es gibt wirklich nur einen in $\begin{eqnarray} [0,L) \end{eqnarray}$ , aber 2 in $\begin{eqnarray} [0, L] \end{eqnarray}$ . D.h. einer liegt in L, und damit ...
01.09.2015, 10:41	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische stetige Funktion, Max/Min Hallo, schon mal vielen Dank für deine Antwort. Wenn ich also $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \kappa(L) := \kappa(0) \end{eqnarray}$ stetig fortsetze so habe ich 2 Scheitel in $\begin{eqnarray} [0,L] \end{eqnarray}$ da die stetige Funktion auf der kompakten Menge ihr Max und Min annimmt. Dann habe ich, da ja nicht beide in $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ liegen können, schon mal einen in $\begin{eqnarray} [0,L) \end{eqnarray}$ . Angenommen es gibt wirklich nur einen in $\begin{eqnarray} [0,L) \end{eqnarray}$ aber 2 Scheitel in $\begin{eqnarray} [0,L] \end{eqnarray}$ , dann muss es in $\begin{eqnarray} [0,L) \end{eqnarray}$ wahrscheinlich noch einen weiteren Scheitel geben; aber ich finde da noch keine passende Begründung. Ich mache mir das gerade eher an einer Skizze klar, wie $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ eben aussehen kann. Da scheint es so, also müsse es, wenn ich $\begin{eqnarray} \kappa(L) := \kappa(0) \end{eqnarray}$ definiere, immer noch einen weiteren Scheitel geben.
01.09.2015, 10:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische stetige Funktion, Max/Min Wenn ein Scheitel in L liegt, und $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ L-periodisch forgestetzt werden kann, wo liegt damit in [0, L) denn der weitere Scheitel?
01.09.2015, 11:18	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische stetige Funktion, Max/Min Ja dann muss der Scheitel der ja dann a priori in $\begin{eqnarray} [0,L) \end{eqnarray}$ existiert in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ liegen. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung muss dann noch ein Scheitel in $\begin{eqnarray} (0,L) \end{eqnarray}$ existieren! Richtig?
01.09.2015, 11:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische stetige Funktion, Max/Min Jop. Bzw. musst du etwas sauberer argumentieren, dass in 0 und L entweder beide lokale Minimima bzw. Maxima sind, und d.h. dazwischen mindestens ein Maximum bzw. Minimum liegt.
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01.09.2015, 12:11	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische stetige Funktion, Max/Min Okay verstanden Vielen Dank

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