Verschoben! Spiegelung an einer Gerade und die Abbildungsmatrix dazu

31.08.2015, 22:41

idur

Spiegelung an einer Gerade und die Abbildungsmatrix dazu

Meine Frage:
Hallo,

ich verstehe folgenden Aufgabentext einer alten Mathe I Klausur nicht. Vllt. kann mir jmd einen Tipp geben was da gesucht ist?
Ich gebe mal die gesamte Aufgabenstellung wieder. Es geht konkret um die c).

" Es sei g die Gerade im Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray*}$ , die den Ursprung und den Punkt (1, 0, -3) enthält. Es sei E die Ebene, die orthogonal zu g ist und den Ursprung enthält.
(a) Geben Sie die Parameterdarstellung von g und die Parameterdarstellung und die Hesse-Normalform von E an.
(b) Berechnen Sie den Abstand des Punkts (0, 0, 1) zur Ebene E .
(c) Es sei $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ die Spiegelung bezüglich g . Berechnen Sie die Matrix A , die $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ in der Standardbasis darstellt."

Meine Ideen:
Ich habe die c) folgendermassen gelöst:
Ich spiegele alle Standardbasisvektoren an der Geraden g.
Dazu nehme ich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
als Normalenvektor und stelle die Hilfsebenen in Koordinatenform für jeden Standardbasisvektor auf:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1, h_{1}: x_{1} - 3x_{3} =1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0, h_{2} : x_{1} - 3x_{3} =0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -3, h_{3}: x_{1} - 3x_{3} = -3 \end{eqnarray*}$
Danach berechne ich den Schnitt von g mit jeder Hilfsebene, wobei bei mir g die Form hat
$\begin{eqnarray*} g: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Also folgt für den Schnitt dann mit
$\begin{eqnarray*} x_{1} = \lambda, x_{3} = -3\lambda \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} h_{1}=g : \lambda - 3(-3\lambda) = 1 \implies \lambda_{h_{1}} = \frac{1}{10}, h_{2}=g : \lambda - 3(-3\lambda) = 0 \implies \lambda_{h_{2}} = 0, h_{3}=g : \lambda - 3(-3\lambda) = -3 \implies \lambda_{h_{3}} = -\frac{3}{10}. \end{eqnarray*}$
Damit kann man die Schnittpunkte ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} S_{1}:\lambda_{h_{1}}~in~g: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{10} \\ 0 \\ - \frac{3}{10} \end{pmatrix}, S_{2}:\lambda_{h_{2}}~in~g: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}=0, S_{3}:\lambda_{h_{3}}~in~g: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +-\frac{3}{10}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3}{10} \\ 0 \\ -\frac{9}{10} \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$ .
Die Schnittpunkte spiegeln:
$\begin{eqnarray*} SP_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +2( \begin{pmatrix} \frac{1}{10} \\ 0 \\ - \frac{3}{10} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -\frac{8}{10} \\ 0 \\ - \frac{6}{10} \end{pmatrix}, SP_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +2( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, SP_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +2( \begin{pmatrix} -\frac{3}{10} \\ 0 \\ -\frac{9}{10} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} -\frac{6}{10} \\ 0 \\ \frac{8}{10} \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$
Ich bin mir bei der Berechnung der Spiegelpunkte nicht sicher, da Klausuraufgaben in der Regel nicht so aufwendig sind bzw. es gibt vllt. einen simpleren Weg.
Was soll jetzt die Abbildungsmatrix in c) sein? Ist es eine Matrix der gespiegelten Standardbasisvektoren? Also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{8}{10} & 0 & - \frac{6}{10} \\ 0 & -1 & 0 \\ -\frac{6}{10} & 0 & \frac{8}{10} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

[EDIT: Bitte, wenn möglich den Beitrag in die Rubrik Hochschulmathematik/Algebra verschieben! Danke!]

Gruss

01.09.2015, 03:49

Bjoern1982

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Zitat:

Ist es eine Matrix der gespiegelten Standardbasisvektoren?

Generell ist das jetzt eben eine Matrix bzw. die Abbildungsmatrix, die dir jeden beliebigen Punkt im R³ an der gegebenen Ursprungsgeraden spiegelt.
Eine Möglichkeit an diese Abbildungsmatrix zu gelangen, ist eben, dass man die Bilder der Basisvektoren bestimmt, was dann den Spalten der gesuchten Matrix entspricht.
Da laut Aufgabenstellung die Rede von der Standardbasis ist, nimmt man hier eben die von dir benutzten kanonischen Einheitsvektoren.
Das ist in der Tat etwas mühselig vom Aufwand her.
Es gibt für Spiegelungen an Ursprungsgeraden auch feste, vom Neigungswinkel abhängige Formeln für die entsprechende Abbildungsmatrix (siehe wiki).
Ansonsten könnte man auch darüber nachdenken, das von dir durchgeführte Prozedere nur einmal für einen allgemeinen Punkt P(a|b|c) durchzuführen.

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