Eigenwert - Rechenfehler?

Neue Frage »

Felixxxx Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert - Rechenfehler?
Meine Frage:
Liebes Matheboard,
ich habe ein kleine Problem bei der Berechnung der Eigenwerte einer 3x3-Matrix. Der Rechenvorgang ist mir klar, jedoch bekomme ich bei folgender Aufgabe einfach ein falsches Ergebnis. ICh mache irgendwo einen Rechenfehler und bin zu doof ihn zu finden.

Aufgabe:


Berechnung:

= ...



Meine Ideen:


Das hier ist meine Berechnung. Das ist aber leider falsch. Richtig wäre:


Gegen welches Rechengesetz verstoße ich denn? Ich sehe gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr :-(

Danke und viele Grüße
Felix

// Edit: Sorry, der will die Formeln trotz Formeleditor nicht anzeigen :-(

EDIT: ich habe mal die fehlenden Latex-Tags eingefügt. (klarsoweit)
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert - Rechenfehler ?!
Hallo,

Zitat:
Original von Felixxxx
Meine Ideen:

wo kommen die unterschiedlichen Vorzeichen von 2 und her?

Und es ist bei der Berechnung von Eigenwerten fast nie eine gute Idee alles auszumultiplizieren.
ausklammern sollte hier der erste Schritt sein.
Felixxxx Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit: Danke!

Hallo Captain,

vielen DAnk für Deine Antwort.

Frage 1: "wo kommen die unterschiedlichen Vorzeichen von 2 und 2\lambda her?"


Oh, da sind ja nicht unterschiedlich ...
Also müsste nach meiner unteren Rechnung stehen:


Aber das ist ja immer noch falsch :-( Ich muss eigentlich von 3 Lambda 2 Lambda abziehen. Aber der Vorzeichen von 2 Lambda ist bei mir leider immer plus.
Ich erreiche das nur, wenn ich bei der Berechnung:
(linker Teil) - (rechter Teil) die Vorzeichen vom rechten Teil einfach umdrehe und aus dem - ein plus mache. Dann stimmt es.

Frage/Anmerkung 2: "... keine gute Idee auszumultiplizieren => lieber ausklammern"
Ich multipliziere leider immer alles aus. Fühle mich da eigentlich immer sicherer. Ich versuche mal das ausklammern anhand deines Beispiels.


Jetzt kann ich nach der PQ-Formel die rechte Klammer ausrechnen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felixxxx
Also müsste nach meiner unteren Rechnung stehen:


Aber das ist ja immer noch falsch :-(

Du huddelst auch ganz schön mit den Vorzeichen. Richtig ist:


Zitat:
Original von Felixxxx
Jetzt kann ich nach der PQ-Formel die rechte Klammer ausrechnen.

Richtig wäre:
Allerdings war ja das Polynom eh noch falsch. smile
Felixxxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhh, ich verlier manchmal so schnell den Überblick.

Ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden. Ich habe einfach nicht die Rechenregeln beim Klammern beachtet.

Hier noch einmal die komplette Aufgabe ab Berechnung der Eigenwerte.

Jetzt die rechte Seite ausmultiplizieren:

Und was ich nicht gemacht hatte: Die Rechenzeichen in der rechten Klammer umdrehen, da das Vorzeichen der Klammer - (minues) ist.


Jetzt klammere ich aus:

Das ist soweit richtig oder?
Die Klammer enthält die Basis um die pq-Formel anzuwenden:


Irgendwie ist heute echt der Wurm drinnen... Das stimmt doch auch nicht :-(
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt klammere ich aus:

Das ist soweit richtig oder?

Es ist wieder sinnvoll zu tun was du hier tust noch sind deine Schlußfolgerungen nachvollziehbar.(die Nullstelle ist vermutlich rein zufällig richtig.)

Zitat:
Die Klammer enthält die Basis um die pq-Formel anzuwenden:

Ja und was hat das mit den Eigenwerten aka Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu tun?
(Und mit dem Begriff Basis wär ich im Kontext von Vektorräumen sehr vorsichtig)
Eine Nullstelle der Klammer ist keine Nullstelle des ganzen Terms.

Die sinnvollste Möglichkeit die Nullstellen eines Polynoms dritten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten zu bsteimmen ist es die Teiler des konstanten Terms durchzuprobieren.

Noch sinnvoller ist es zu vermeiden so ein Polynom überhaupt zu kriegen.
 
 
Felixxxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Captain Kirk,

danke für eure Antworten. Meine Aufgaben hier beziehen sich auf die Berechnung von Eigenwert und Eigenvektor einer Matrix.

Mein Vorgehen und das was ich mir aufgeschrieben hatte war, erst einmal die determinante der Matrix zu berechnen, bei der die Diagonale von oben rechts nach unten links mit minus Lambda versehen wird.
Hier immer gleich richtig auszuklammern fällt mir irgendwie schwerer als das einfach auszurechnen. Uns wurde beigebracht ggf. bei einem Polynom 3. Grades auszuklammern und dann das hoffentlich daraus entstandene Polynom 2. Grades mit der PQ-Formel zu berechnen. Das Ergenis jeweils stelle dann die Eigenwerte da.

Das erste Zitat von Dir war für mich der Versuch eine Form aufzustellen um die PQ Formel anwenden zu könen.

Ich würde gerne vermeiden ein Polynom 3. Grades zu bekommen. Ich rechne hier Aufgaben die ich habe. Dort ist dann leider das Polynom so entstanden. Ich weiß leider nicht wie einfach ich das dann vermeiden kann.

Vielen Dank für Deine bzw. Eure Hilfe.

Viele Grüße
Felix
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Uns wurde beigebracht ggf. bei einem Polynom 3. Grades auszuklammern

Ja dem habe ich nicht wiedersprochen,
Zitat:
Die sinnvollste Möglichkeit die Nullstellen eines Polynoms dritten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten zu bestimmen ist es die Teiler des konstanten Terms durchzuprobieren

ist eigentlich genau das.
(Ich hoffe dir ist der Zusammenhang zwischen Linearfaktoren und Nullstellen klar).
Was du in deinem Letzten Post geschrieben hast ist nicht das Vorgehen, dass du hier beschreibst.
Genausowenig wie das:
Zitat:
nd dann das hoffentlich daraus entstandene Polynom 2. Grades mit der PQ-Formel zu berechnen

Dein verwendetes Polynom geht nicht durch ausklammern aus dem Polynom dritten Grades hervor, weil du nicht ausgeklammert hast.

Der Punkt ist schlicht: Das beschriebene Vorgehen ist sinnvoll, du führst es schlicht nicht richtig aus.
Felixxxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
Der Punkt ist schlicht: Das beschriebene Vorgehen ist sinnvoll, du führst es schlicht nicht richtig aus.


In der Vergangenheit hatte ich mit dem Verfahren absolut keine Probleme und stolpere heute darüber. ICh werde das Thema bis heute Nachmittag ruhen lassen und mit dem nächsten weitermachen. Ich hoffe das ich heute Abend im Kopf wieder fitt genug bin und ich mich dann auch an die richtigen Verfahren halte.

Danke für Deine Antwort und Deine Zeit!

Viele Grüße
Felix
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten schaust du dir nochmal diese Stelle an:
Zitat:
Original von Felixxxx
Jetzt klammere ich aus:


In der ersten Zeile steht leider keine vollständige Gleichung. Eigentlich steht da:


Daß dann lambda_1 = 2 eine Lösung ist, ist eher zufällig. Was machst du denn, wenn da

gestanden hätte?
Felixxxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Daß dann lambda_1 = 2 eine Lösung ist, ist eher zufällig. Was machst du denn, wenn da

gestanden hätte?


Ehrlich gesagt hätte ich es identisch interpretiert.


Wenn Du bzw. ihr das so ansprecht, dann darf man das so wohl nicht einfach machen. Ist ja eine Gleichung...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felixxxx


Die große Frage ist doch, wieso du da folgerst? Die Begründung würde ich gerne mal sehen. Außerdem bist du dir in deiner Methode selber untreu, denn bei folgerst du .

Daß oder auch keine Lösung ist, siehst du leicht durch Einsetzen in die Gleichung.
Felixxxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Klarsoweit,

ich muss gestehen, meine Annahme ist vollkommen unlogisch. Ich habe einfach nicht mal simpel eingesetzt und geschaut, ob 0 heraus kommt. Das war blödsinn.

Ich habe dieses falsche Vorgehen noch irgendwie aus unseren Übungen im Kopf. Immer wenn wir in Übungen solch ein Lambda ausgeklammert haben, und dann eine Konstante außerhalb der Klammer stehengeblieben ist - meist eine 1 - dann konnte wir als ersten Eigenwert

nehmen. Wir mussten dann noch

mit der PQ-Formel ausrechnen. Das ganze Vorgehen ging natürlich nur bei einem Polynom 3. Grades.

Ich denke mein ganzes Vorgehen ist falsch. ICh habe mich gerade mal an eine Aufgabe gemacht, die recht große Zahlen mitsich bringt. Mein Vorgehen ist, dass ich immer alles vollständig berechne. Bei der Aufgabe rechne ich mir aber einen Wolf.
Hättest du mir ggf. einen Tipp für ein allgemeins Vorgehen, wie ich schnell sehen kann, was ich ausklammern kann?

Hier die Aufgabe. Ich möchte sie jetzt hier nicht vorrechnen sondern möchte nur zeigen, dass es einfach ein bisschen dauert sowas auszurechnen.


Danke und viele GRüße
Felix
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Situation ist leicht anders als in der ersten Aufgabe oben. Dort konnte man der vielen Nullen in der Matrix wegen mit dem Tipp

Zitat:
Original von Captain Kirk
ausklammern sollte hier der erste Schritt sein.

rasch zum Erfolg kommen (vorausgesetzt deutlich mehr Konzentriertheit bei Vorzeichen als bei dir gesehen).

Hier ist das anders, da gibt es ein solches offensichtliches Ausklammern nicht. Also multiplizier alles schön aus, und dann ist eben die Gleichung dritten Grades zu lösen, wie du es eben kennst bzw. wie es diskutiert wurde: Eine Lösung "raten" - falls es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, so muss sie dies

Zitat:
Original von Captain Kirk
Die sinnvollste Möglichkeit die Nullstellen eines Polynoms dritten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten zu bsteimmen ist es die Teiler des konstanten Terms durchzuprobieren.

erfüllen - anschließend Polynomdivision. Bei Schulaufgaben klappt es meist auf diese Weise (in der Praxis sieht es natürlich anders aus).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felixxxx
Hier die Aufgabe. Ich möchte sie jetzt hier nicht vorrechnen sondern möchte nur zeigen, dass es einfach ein bisschen dauert sowas auszurechnen.

Ohne Fleiß keinen Preis. Da mußt du durch, auch wenn der Kopf raucht. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Nachtrag noch zur ersten Aufgabe:

Bei Aufmerksamer Betrachtung der Eigenwertmatrix sieht man, dass die letzte Spalte mit Ausnahme des letzten Elements nur aus Nullen besteht. Da hätte eine einmalige Anwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes sofort ergeben

,

und damit ebenfalls die entspannte Rechnung über das Ausklammern gleich frei Haus. smile
Felixxxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe sehr, dass dies an der Konzentration lag. verwirrt

Stimmt, Laplace hätte man auch zu rate ziehen können. Dann spart man sich ein wenig gerechne bzw. es wird übersichtlich.

Ich gehe mir mal einen Kaffee holen, und stürze mich wieder in die Mathematik :-)

Herzlichen Dank für eure Hilfe smile

Nachher geht es an Klausuraufgaben. Dann kann es passieren, dass ich mich noch einmal zu einem anderen Thema in einem neuen Thread melde Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »