Anfangswertproblem

01.09.2015, 10:16

Ei Ma

Anfangswertproblem

Meine Frage:
dy/dt=-a(t)y

Anfangswert ist y(0)=D0

Fragen sind:
a)Lösen sie das obige Anfangswertproblem für a(t)=const=k!
b) Lösen sie das Anfangswertorigem für a(t)0k+m*cos(wt), wobei k und m positive Konstanten sind mit k größergleich m

Meine Ideen:
Ich werde ja wahrscheinlich am Anfang erst mal mit TdV arbeiten oder?
-->
dy/y=-a(t)*dt

--> dann Integrieren?

ln(y)=1/2a^2

Wobei das schon komisch für mich wirkt.

Über schnelle Hilfe würde ich mich sehr freuen!

Beste Grüße,
Ei Ma

01.09.2015, 10:54

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem

Zitat:

Original von Ei Ma
dy/y=-a(t)*dt

--> dann Integrieren?

Im Prinzip ja, aber du müßtest a(t) integrieren. Und da fragt sich schon, welche Stammfunktion a(t) hat. Bestimmt nicht 0,5 * a² . Im Fall a(t) = Konstante k ist das Integrieren aber wieder recht einfach. smile

01.09.2015, 10:59

Ei Ma

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Cool, danke schon einmal für die schnell Antwort. Leider hilf sie mir nur nicht wirklich weiter :-/

Ich Packe die Aufgabe mal als Bild in den Anhang

01.09.2015, 11:11

Ei Ma

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Oder wäre das dann :

dy/dt=-a(t)y mit a(t)=k
dy/y=-kdt
ln(y)=-kt
y=e^(-kt)

so?

01.09.2015, 11:38

klarsoweit

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Korrekt. Jetzt mußt du natürlich noch die Anfangsbedingung einbauen. smile

01.09.2015, 12:15

Ei Ma

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Ok, das ist dann ja das y(0)=D0

Aber was mache ich damit?

01.09.2015, 12:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ei Ma
dy/y=-kdt
ln(y)=-kt
y=e^(-kt)

Leider war ich beim Lesen dieser Zeilen schluddrig. Korrekt müßte es so lauten:
ln(y)=-kt + C_1
wobei C_1 die Integrationskonstante ist. Das führt dann zu:
$\begin{eqnarray*} y = C \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C := e^{C_1} \end{eqnarray*}$

Für die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} y = C \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$ kannst du ja mal y(0) ausrechnen. Der betreffende Wert ist dann gleich D0.

01.09.2015, 14:26

Ei Ma

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Das versteh ich nicht wirklich...

01.09.2015, 14:32

klarsoweit

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Hm. Aber du verstehst, daß $\begin{eqnarray*} y(t) = C \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$ die allgemeine Lösung der DGL dy/dt = -k*y (k = konstant) ist?

02.09.2015, 08:31

Ei Ma

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Ja genau, das verstehe ich noch. Ich habe halt immer nur mein Problem mit diesen Anfangswerten.

02.09.2015, 08:38

klarsoweit

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Du brauchst doch nur für $\begin{eqnarray*} y(t) = C \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$ den Funktionswert y(0) bilden. Diesert Wert ist gleich deinem Anfangswert. Aus der entstehenden Gleichung kannst du das C bestimmen. smile

02.09.2015, 08:41

Ei Ma

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Ok, heißt das dann, dass ich mein y(0)=D0 in die Allgemeine Lösung einsetze ->

D0=C*e^(-kt)

und die Formel dann nach C=... auflöse?

02.09.2015, 09:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ei Ma
D0=C*e^(-kt)

Du hast anscheinend noch nicht verstanden, wie man einen Funktionswert bildet. y(0) bedeutet, daß du für jedes t in $\begin{eqnarray*} C \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$ eine Null einsetzen mußt.

15.09.2015, 16:45

Ei Ma

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Neue Aufgabe!
Erstellung eines einfachen DGL-Modells

Durch atmosphärische Deposition werden pro Jahr 42 mg einer organischen Substanz auf städtischen Böden je m2 abgelagert. Durch Auswaschung verliert der Boden pro Jahr 0.6% der Substanz. Weitere Abbaupfade werden nicht berücksichtigt

a) Stellen Sie die Gleichung für die Beschreibung der Veränderung der Substanzkonzentration im Boden auf.
b) Wie hoch wird die Konzentration der Substanz im Gleichgewicht sein?
c) Wie lange wird es dauern, bis die Konzentration 5% des in b)
errechneten Levels erreicht, wenn man eine Anfangskonzentration von 0 mg/m2 annimmt.

zu a)
dOS/dt=i-k*OS
mit: OS: org. Substanz pro m2; i = 42 mg/m2; k = 0.006 yr-1

für b) müsste ich dann doch wieder die TdV machen oder?

dOS/OS=i-kdt --> Integrieren
ln(OS)=i-kt --> e^
OS=e^(i-kt)+C_1
aber das passt glaub ich schon nicht mehr oder?

16.09.2015, 11:00

klarsoweit

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RE: Neue Aufgabe!

Zitat:

Original von Ei Ma
dOS/OS=i-kdt --> Integrieren

Da bei der Konstanten i der Faktor OS fehlt, funktioniert die Trennung der Variablen nicht. Das sollte dir bei deiner Umformung eigentlich aufgefallen sein. Du mußt erstmal die homogene DGL dOS/dt = -k*OS lösen und dann noch zu der inhomogenen DGL eine spezielle Lösung bestimmen.

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Anfangswertproblem

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