Doppelpost! Ellipse aus gegebenen Ellipsenbogen ermitteln

01.09.2015, 14:58

MASUPlus

Ellipse aus gegebenen Ellipsenbogen ermitteln

Meine Frage:
Beispiel...
Gegeben ist der Umgebungsrahen eines Ellipsenbogen.
Bogen-Links: 283.98, Bogen-Oben: 150.92, Bogen-Rechts: 479.06, Bogen-Unten: 233.14
Außerden die Winkel des Bogens (Winkelaufteilung: rechts beginnt mit 0°, links endet mit 180°, nach unten positiv, nach oben negativ):
Startwinkel: 0° , Endwinkel -136°

Daraus ergibt sich für die Ellipse:
b(Radius Y)=Höhe=82.22, Ellipse-Rechts=Bogen-Rechts:479.06, Ellipse-Oben=Bogen-Oben:150.92, Ellipse-Mitte-Y=Bogen-Unten:233.14

Gesucht für die Ellipse:
a (Radius X) oder Ellipse-Mitte-X oder X(Ellipse-Mitte-X bis Bogen-Links)

Ich habe jetzt 3 Tage alles Versucht, aber mit fehlt immer ein Wert um eine Lösung zu erhalten.
Da sind nun wirklich kluge Köpfe gefragt. Kann jemand helfen?

Meine Ideen:
x=a*sin alfa
y=b*cos alfa (alfa ungleich Winkel!)

alfa = arctan(a/b*1/tan(Winkel))
x²/a²+y²/b²=1
U(360°)=2*pi*Sqrt((a²+b²)/2)

02.09.2015, 10:39

temporär

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de.wikipedia.org/wiki/Rotationskörper
Bei Rotation um die x-Achse

sollte passen

02.09.2015, 11:11

MASUPlus

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Hallo,
na da bin ich ja mal auf ein Beispiel gespannt.
Gruß

02.09.2015, 13:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von MASUPlus
Ich habe jetzt 3 Tage alles Versucht, aber mit fehlt immer ein Wert um eine Lösung zu erhalten.

Es geht schon, aber letzten Endes kommt man wohl um eine algebraische Gleichung vierten Grades nicht herum.

02.09.2015, 13:51

MASUPlus

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Vielleicht ist diese Zeichnung etwas klarer...
[attach]39034[/attach]

02.09.2015, 14:01

HAL 9000

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Ist schon klar. Augenzwinkern

------------------------------------------

In Parameterdarstellung ist

$\begin{align*} x(t) &= x_M + a\cos(t) \\ y(t) &= y_M + b\sin(t) \end{align*}$

Gegeben sind:

$\begin{align*} x(0) = x_M+a &= 479.06\qquad (1) \\<br /> y(0) = y_M &= 233.14\qquad (2) \\<br /> y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = y_M-b &= 150.92\qquad (3) \\<br /> x(\tau) = x_M+a\cos(\tau) &= 283.98\qquad (4) \\<br /> \frac{y(\tau)-y_M}{x(\tau)-x_M} = \frac{b}{a}\tan(\tau) = \tan\left(-136^{\circ}\right)&= \tan\left(44^{\circ}\right)\qquad (5) \end{align*}$ ,

wobei nach Lage des Bogens der Parameterwert $\begin{align*} \tau \end{align*}$ für den linken Bogenrandpunkt im Intervall $\begin{align*} \left(-\pi,-\frac{\pi}{2}\right) \end{align*}$ liegt.

Das sind fünf Gleichungen für die fünf Variablen $\begin{align*} x_M,y_M,a,b,\tau \end{align*}$ .

(2) liefert sofort $\begin{align*} y_M=233.14 \end{align*}$ , und (2)-(3) dann $\begin{align*} b=82.22 \end{align*}$ , soweit warst du ja auch schon.

Aus (1)-(4) bekommt man $\begin{align*} a(1-\cos(\tau)) = 195.08 \end{align*}$ , umgestellt $\begin{align*} a = \frac{195.08}{1-\cos(\tau)} \end{align*}$ und eingesetzt in (5) ergibt sich schließlich die Bestimmungsgleichung

$\begin{align*} \frac{82.22}{195.08}(1-\cos(\tau)) \tan(\tau) = \tan\left(44^{\circ}\right) \end{align*}$

für $\begin{align*} \tau \end{align*}$ . Mit $\begin{align*} \lambda:=\frac{195.08}{82.22}\tan\left(44^{\circ}\right) \approx 2.29125 \end{align*}$ ist also

$\begin{align*} (1-\cos(\tau))\sin(\tau) = \lambda \cos(\tau) \end{align*}$

zu lösen. Eine Quadrierung und die Substitution $\begin{align*} x=\cos(\tau) \end{align*}$ später ergibt sich mit

$\begin{align*} (1-x)^2(1-x^2) = \lambda^2 x^2 \end{align*}$

leider eine Gleichung vierten Grades mit nur einer negativ reellen Lösung $\begin{align*} x\approx -0.5637 \end{align*}$ , die zu $\begin{align*} \tau \approx -2.1697 \end{align*}$ führt und damit $\begin{align*} a\approx 124.755 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_M\approx 354.305 \end{align*}$ .

02.09.2015, 15:17

Mathema

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@MASUPlus:

Du hast ja wirklich kein Forum ausgelassen:

http://www.mathelounge.de/259479/ellipse...bogen-ermitteln

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...hp?topic=210963

Nicht sehr freundlich... unglücklich

02.09.2015, 15:24

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Mathema
Nicht sehr freundlich

Alles andere, in der Tat. Zumal in den anderen Foren auch schon Helfer gearbeitet haben. Schade, dass wir's nicht früher gemerkt haben, dann hätte zumindest HAL sich die Arbeit ersparen können.

Hier ist zu.

03.09.2015, 11:29

Steffen Bühler

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Der Verfasser hat sich ausführlich für den Multipost entschuldigt. Daher öffne ich nun wieder und füge seinen folgenden Beitrag ein. Steffen

Also erst mal vielen Dank und meine aufrichtige Hochachtung. Ich konnte die Lösung auch soweit nachvollziehen, muss aber zugeben, dass ich es alleine nicht soweit hinbekommen hätte. Nachrechnen und umsetzen verifizierte die Lösung von a=124.755 (auch im praktischen Test).
Stellt sich aber nun die Frage der Umsetzung. Eine Gleichung 4. Grades und das für die einzelnen Fälle (1. 2. 3. 4. Quadrant start/stop, ohne Sonderfälle wie 0°, 90°, 180°) ist programmtechnisch schon schwer umzusetzen. Ich nehme an die Ergebnisse wurden mit einen Texas Rechner errechnet. Auch Versuche die Gleichungen zu vereinfachen mit sin(x)*tan(x/2)=1-cos(x) brachten keinen wirklichen Erfolg.
Also werde ich mal versuchen eine Näherungsgleichung zu bestimmen. Da das Ergebnis auf ein Verhältnis mäßig kleines Pixelfeld gezeichnet wird, wird sich wahrscheinlich eine Genauigkeit von +-5% nicht auswirken (ist zu testen). Mal sehen wie es weiter geht.

03.09.2015, 11:36

HAL 9000

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Zitat:

Auch Versuche die Gleichungen zu vereinfachen mit sin(x)*tan(x/2)=1-cos(x) brachten keinen wirklichen Erfolg.

In seltenen Fällen mag man damit Erfolg haben, hier allerdings scheint sich der (nicht ganz seriöse) "Satz von der Erhaltung der Schwierigkeit" zu bewahrheiten:

Auch mit Doppel- oder Halbwinkeln kommt man immer wieder auf eine Gleichung vierten Grades.

Nun, auch die ist keine Katastrophe, wenn du das Problem "allgemein" implementieren willst: Entweder über die angesprochenen Näherungsverfahren, es geht aber auch (wenn auch mit ziemlichen Formelwust) direkt.

Ich hab's oben natürlich nicht zu Fuß, sondern mit einem CAS berechnet. Augenzwinkern

03.09.2015, 12:33

Mitleser

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Hallo zusammen

Ich bin ein interessierter Mitleser und frage mich gerade, was denn dieses Rumgesuche in anderen Foren nach denselben Usernamen und Themen soll. Nun ist hier als Rechtfertigung zum einen von unnötiger Arbeit die Rede. Hal9000 macht mir jetzt nicht den Eindruck, als ob er hier gezwungen wird zu arbeiten, auf mich wirkt es eher so, als ob er Spaß an der Mathematik hat und das deswegen so ausführlich beschrieben hat. Ich finde ihr denkt da viel zu kurz. Mir als Mitleser hat das jetzt wirklich sehr geholfen und wenn ihr solche ach so schlimmen Crosspostings immer direkt mit einer sofortigen Schließung bestraft, nehmt ihr euch selbst an Qualität des Forums und damit auch Leuten wie mir die Freude sowas Hilfreiches zu lesen. Hätten eure Detektive noch früher gesucht oder der Threadsteller sich nicht entschuldigt, dann hätte ich das nie lesen können. Wenn ihr hier schon unbedingt von Arbeit reden wollt, dann seht es doch vielleicht mal so, dass es gewiss niemals für die Katz sein kann, denn selbst wenn der Threadsteller schon in einem anderen Forum sein Problem gelöst hat, werden die Beiträge doch trotzdem weiß Gott wie vielen, etlichen anderen Lesern helfen. Warum denkt ihr da nur so eindimensional, ich finde das sehr schade und wollte euch damit nur mal eine etwas andere Sichtweise schildern.

03.09.2015, 12:50

MASUPlus

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Hallo allen,
ich wollte wirklich keinen zu nahe treten und unnötig Aufwand produzieren. Es war einfach nur das Ansinnen, vielleicht einen einfachen Ansatz dabei zu haben. Ihr geht doch auch zum Arzt und holt euch eine Zweitmeinung, wenn es ein größeres Problem ist? Aber damit soll es wirklich gut sein, Entschuldigung noch mal, für die Zukunft werde ich mich entsprechend verhalten.
Nun zum eigentlichen:
Steffen Bühler hat mein Kommentar schon eingestellt. Dazu ist erst mal nichts mehr zu sagen. Sollte ich noch weitere Erkenntnisse erlangen, werde ich mich melden.
Hier noch das Ergebnis des Tests (in PowerPoint gezeichnet und durch Export der Daten und nach SVG übersetzen im Browser dargestellt).

03.09.2015, 13:09

Steffen Bühler

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Dann doch noch eine kurze Anmerkung.

Zitat:

Original von Mitleser
Rumgesuche in anderen Foren nach denselben Usernamen und Themen

...macht hier niemand, glaube mir. Es sind eben viele Helfer auch in anderen Foren unterwegs, und da fallen gleichlautende Fragen eben schon mal auf.

Zitat:

Original von MASUPlus
Ihr geht doch auch zum Arzt und holt euch eine Zweitmeinung, wenn es ein größeres Problem ist?

Der Arzt wird bezahlt dafür. Hier sind nur Freiwillige. Natürlich haben die Spaß an Mathe, sonst wären sie nicht hier.

Da wir schon bei Vergleichen sind: wenn Du einen Partner suchst, fragst Du dann zehn Menschen, ob sie mit Dir zusammensein wollen? Und wenn dann ein paar zusagen, nimmst Du den besten und meldest Dich einfach nicht mehr bei den anderen? Oder, wenn Du mutig bist, sagst Du ihnen, Du hast jetzt schon was?

So ungefähr ist es nämlich bei den Helfern auch: man mag es nicht glauben, aber das sind genauso Menschen, die Gefühle haben. Und die verletzt sein können. Darum geht es. Und darum haben wir unser Boardprinzip aufgestellt.

Wir können gerne weiter diskutieren, dann würde ich die betreffenden Posts ausschneiden und verschieben.

Und bevor ich's vergesse: herzlich willkommen im Board, MASUPlus!

Viele Grüße
Steffen

03.09.2015, 13:23

MASUPlus

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Hallo Steffen,

Was z.B. meinen Arzt angeht (übrigens ein guter Freund von mir), ist er der Meinung das es keine Bezahlung sondern nur eine Aufwandsentschädigung ist.
Nein, nein, lass es gut sein. Ich erkenne das Prinzip ja voll an.

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